Hallo,

ich versuche mal eine kleine Rechenaufgabe zu stellen(, hoffentlich mit Aha-Effekt).

Aufgabe:
Gegeben seien die Massen von Erde und Mond, sowie die große Halbachse der Mondbahn und die (siderische) Umlaufzeit des Mondes. (Kann genaue Werte bei Bedarf angeben, sollten aber leicht zu finden sein.)

Berechne (mit dem 3. Kepleschen Gesetz) aus jeweils 2 Werten den dritten.

Was fällt auf, und woran könnte es liegen?

Grüße UMa

Hallo UMa,

eine interessante Aufgabe. Ich werde diesmal nicht rechnen, sondern versuchen, den Aha-Effekt theoretisch zu erfassen. Das 3. Keplersche Gesetz wird z.B. angewendet im Sonnensystem, wobei vorausgesetzt wird, dass die Planetenmasse relativ zur Sonnenmasse sehr klein ist. Beim System Erde -Mond trifft das nicht zu, hier kann die Mondmasse im Verhältnis zur Erdmasse nicht vernachlässigt werden. Deshalb wird das Gesetz hier keine hinreichend genauen Ergebnisse liefern. Patrick kann zur Übung ja mal nachrechnen und die Abweichungen bestimmen.

Den nächstgrößeren Aha-Effekt würde man erleben, wenn man versuchen würde, die Bewegungsgleichungen für ein System zu finden, bei dem drei Körper beteiligt sind. Zum Beispiel ein Planet mit zwei Monden, wobei die Mondmassen zwar unterschiedlich, aber in der Größenordnung der Planetenmasse liegen. Die Schwerpunktsbewegung dieses Systems wird chaotisch werden und nur noch durch Näherungsrechnung für kleine Zeiten berechenbar sein.

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof
Eugen.Bauhof@t-online.de

P.S.
Die außerirdische Katze ist nicht mehr zu sehen, hoffentlich wurde sie nicht geklont!

Hallo,

Bin kein Spezialist aber ich versuch mich mal:

Die siderische Umlaufzeit des Mondes beträgt 27,3 Tage = 655 Stunden = 0,0747 irdische Jahre. Die große Halbachse beträgt 384.400 Kilometer. Die Massen: Erde = 5,9736 mal 10^24 Kilogramm, Mond = 0,07349 mal 10^24 Kilogramm

Das 3. Keplersche Gesetz: T1 / T2 = a1 / a2 bzw. T1 / a1 = T2 / a2

(T1,2 = Quadrat der Umlaufzeit eines Bahnkörpers / a1,2 = 3. Potenz der großen Halbachse)

Das Quadrat der Umlaufzeit des Mondes (T1) beträgt 0,00558 Jahre , die 3. Potenz seiner großen Halbachse (a1) 56.800.235.584 Mio. Kilometer. Daraus ergibt sich die Konstante T1/a1 = 9,8 * 10^-20 Jahre^2/Kilometer^3

Zum Vergleich: Bei der Erde und jedem anderen Planeten des Sonnensystems bez. der Bahn um die Sonne beträgt diese 3 * 10^-25 Jahre^2/Kilometer^3

Aha-Effekt...hmmm... vielleicht der, dass die Konstante bei Mond und Planeten unterschiedlich sind, was auf die Massenverhälznisse Sonne /Planeten bzw. Erde /Mond zurück zu führen ist?

Hallo UMa,

ich bin wie folgt an die Aufgabe herangegangen:
U²/a³ = 4pi²/G(M+m);

Erdmasse M=5,977*10^24 kg
Mondmasse m=7,350*10^22 kg
Summe M+m=6,0505*10^24
Umlaufzeit U=27,32166 d
gr. Halbachse a=3,84401*10^8 m

Zuerst habe ich die Summe M+m bestimmt und bin auf einen etwas zu niedrigen Wert (Abweichung ~ 0,02 Erdmassen) gekommen. Bei der großen Halbachse war der Wert etwas zu hoch (Abweichung ~ 400 km).

Erste Spekulation:
Ich habe gleich geschlussfolgert, dass es an der Umlaufzeit liegen muss. Sie ist nämlich, wenn man sie in Sekunden umrechnet etwas zu hoch. Um Sekunden zu erhalten, multipliziert man üblicherweise [Zeit in Tage]*24*3600.
3600 liegt an der Unterteilung der Stunde in Minuten und Sekunden. 24 kommt, wenn man von Tage in Stunden umrechnet. Aber die 24 sind gemessen, nämlich aus der Erdrotation, und ist nicht ganz exakt. Der exakte Wert ist nämlich etwas geringer als 24 Stunden. Damit würde die Umlaufzeit in Sekunden etwas geringer werden!?

Hoffentlich ist diese Spekulation nicht ganz daneben.

Zweite Spekulation:
Die Graviation der Sonne ist hier nicht zu vernachlässigen, da sie diese Abweichungen verursacht.

MfG
Patrick

Hallo Eugen,

Zitat:

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Beim System Erde -Mond trifft das nicht zu, hier kann die Mondmasse im Verhältnis zur Erdmasse nicht vernachlässigt werden. Deshalb wird das Gesetz hier keine hinreichend genauen Ergebnisse liefern.

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Aber man kann dieses nicht vernachlässigbare Verhältnis trotzdem auffassen:
U²/a³ = 4pi²/G(M+m);
Im Sonnensystem kann man m=0 setzen und erhält gute Werte. Im Erde -Mond-System kann man M und m ganz normal einsetzen und rechnen. Dann erhält man meine Abweichungen.
Würde man m auch vernachlässigen, wäre die Abweichung noch viel stärker, als die von mir angeführten (siehe Beitrag oben).

MfG
Patrick

Hallo Patrick,

sehr gut.

Es gibt eine Abweichung die größer ist, als die Ungenauigkeiten der Daten (was noch stärker auffällt, wenn man Anstatt der relativ ungenau bekannten Massen die genauer bekannten G*M einsetzt).

Zitat:
Erste Spekulation:
...

Nein, die Umlaufzeit ist schon in normalen mittleren Sonnentagen zu exakt 24h gegeben.

Zitat:
Zweite Spekulation:
Die Graviation der Sonne ist hier nicht zu vernachlässigen, da sie diese Abweichungen verursacht.

Ja, es liegt an der Störung durch die Sonne .

(schwerere) Zusatzfrage: In welche Richtung wirkt die Bescheunigung (ich meine nur die Differenz zu Beschleunigung der Sonne auf die Erde ) durch die Sonne auf dem Mond? Und wie wird die Mondbahn dabei verformt?

Grüße UMa

Hallo UMa,

Stichwort Mondbewegung: "Eines der verwickeltsten Themen der Himmelsmechanik" (Zitat von ich weiß nicht wem)

In Kürze:
1. Große Ungleichheit: Ursache: Exzentrizität, Abweichung vom mittl. Mond: 6°17,3'
2. Evektion: Schon Ptolemäus bekannt; Gezeitenwirkung der Sonne auf die Mondbahn -> Schwankung der Exzentrizität, Abweichung 1°16'26", Periode 31,8 Tage
3. Variation: Erkannt durch Tycho Brahe 1590, später erklärt durch Newton; Abweichung 39'30", Periode ½ synodischer Monat
4. Jährliche Gleichung: Auch durch Tycho Brahe erkannt, Exzentrizität der Erdbahn: Mond in Sonnenferne stärker an die Erde gebunden, Umlaufzeiten 10 Min. kürzer, in Sonnennähe entsprechend umgekehrt, Abweichung 11'11", Periode 1 Jahr
5. Parallaktische Gleichung: Neumond stärker als Vollmond von der Sonne angezogen, Abweichung 2'8", Periode 1 synodischer Monat, zur Bestimmung der Sonnenparallaxe geeignet (daher "parallaktische" Gleichung).
6. Akzeleration (säkular): Entdeckt durch Halley, erklärt durch Laplace und Tobias Mayer, Zunahme von 8" je Jahrhundert: 6" wegen Abnahme der Erdbahnexzentrizität, 2" wegen Gezeitenreibung

Bei Deiner Zusatzfrage geht es also um die Evektion; die Mondbahn wird stets in Richtung zur Sonne (und von ihr weg - Gezeitenwirkung) gestreckt. Daher die periodische Schwankung der Exzentrizität.

Wer das alles ausführlich hören will, der komme nächstes Jahr zum AFT (aft-info), dort werde ich zu dem Thema einen Vortrag halten.

Gruß, mike

Hallo Mike,

Zitat:

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Bei Deiner Zusatzfrage geht es also um die Evektion; die Mondbahn wird stets in Richtung zur Sonne (und von ihr weg - Gezeitenwirkung) gestreckt

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nur in Kürze(, Morgen mehr)
Meinst du wirklich in Richtung Sonne gestreckt? Nicht gestaucht?
Mir geht es um die säkulare Störung der mittleren Länge.

Grüße UMa

Hallo UMa,

als säkulare Störung haben wir in meiner Auflistung nur die Nummer 6. (Die Liste enhält allerdings nur die wichtigsten der -zig bekannten Störungen.)

Die säkulare Akzeleration bedingt tatsächlich ein zunehmendes "Vorgehen" des Mondes und ist nicht periodiusch wie die anderen Terme.

Die Evektion streckt die Mondbahn tatsächlich in Sonnenrichtung, denn sie ist eine echte Gezeitenwirkung. An einfachsten ist das vorstellbar, wenn man sich den Mond als lauter Krümel auf seiner Bahn verteilt vorstellt. Dann unterläge jeder Krümel denselben himmelsmechanischen Einflüssen wie der ganze Mond. (Die Mondmasse spielt in erster Näherung keine Rolle, weil sie sich aus der Gleichung Gravitationskraft=Beschleunigungskraft herauskürzt.) Wenn wir also einen Ring von Mondstaub um die Erde haben, dann würde daher jeder Partikel dieselbe Bahn besitzen wie der Mond als Ganzes. Der Ring hat aber zwei von der Sonne erzeugte Flutberge, wie das Wasser auf der Erde .

Gruß, mike

Hallo,

Zitat:

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Wenn wir also einen Ring von Mondstaub um die Erde haben, dann würde daher jeder Partikel dieselbe Bahn besitzen wie der Mond als Ganzes. Der Ring hat aber zwei von der Sonne erzeugte Flutberge, wie das Wasser auf der Erde .

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Kann so eine Streckung auch bei den Saturnringen noch festgestellt werden, oder ist Saturn bereits zu weit entfernt?

Gruss, Greuti

Hallo UMa,

das mit der Störung durch die Sonne ist einsehbar. Wie man die Größe dieser Störung berechnet, weiß ich nicht, denn ich bin kein Astronom. Ich habe eine viel einfachere Frage:

Wenn man mal von allen Störungen ( Sonne oder sonstiges) absieht und nur das System Erde -Mond isoliert betrachtet, dann ist dieses System als reines Zweikörperproblem beschreibbar. Das Zweikörperproblem ist durch einen geschlossenen Ausdruck lösbar. Ist die von Patrick verwendete Formel

U²/a³ = 4pi²/G(M+m)

dieser geschlossene Ausdruck, der das Zweikörperproblem exakt löst, oder ist diese Formel auch nur eine Näherung?

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof
Eugen.Bauhof@t-online.de

Hallo Eugen,

diese Formel ist keine Näherung, sondern eine exakte Lösung.
Um dir das zu zeigen, leite ich das 3. Keplersche Gesetz mal her:

Wenn die kleinere Masse nicht vernachlässigbar ist, dann gilt der Schwerpunktsatz:
M*r1=m*r2, wobei r1 und r2 die jeweiligen Abstände zum Schwerpunkt sind. Daher ist der Abstand der beiden Körper
a=r1+r2
Mir diesen beiden Gleichungen kann man r1 eleminieren:
r2=a*M/(M+m)
Außerdem gilt das Gravitationsgesetz:
Fg=G*M*m/a²
Die Gravitationskraft Fg muss im Gleichgewicht mit der Zentrifugalkraft Fz sein (hier mit m):
Fz=m*v²/r2 oder Fz=m*v²/(a*M/(M+m)).
Dabei kannst du v ebenfalls wie folgt eleminieren:
v²=4Pi²r2²/U² (r2 wieder ersetzen).
Wenn du Fz=Fg setzt, solltest du die genannte Formel erhalten.

MfG
Patrick

Hi,

wenn man es superhypergenau nimmt,
ist auch diese Formel eine Näherung.

Durch die Gezeitenreibung überträgt die Erde Drehmoment
an den Mond, so dass dieser sich seeehr langsam von der
Erde entfernt, so lange, bis das System eine doppelt
gebundene Rotation aufweist.

Auch senden beide Körper Gravitationswellen aus,
so dass sie aufeinander zu spiralisieren.

Sicher gibt es noch weitere so exotische Phänomene.

Im Sinne der Newton'schen Mechanik starrer Körper
dürfte die Formel aber tatsächlich exakt sein.

Gruss
Thorsten

Hallo Patrick,

du hast geschrieben:
"Daher ist der Abstand der beiden Körper a=r1+r2".

Während des Zeitraums, in dem der Mond einmal um die Erde wandert, ist der Abstand zwischen Mond und Erde zeitlich nicht konstant, weil die Bahn nicht exakt kreisförmig, sondern elliptisch ist. Mir ist nicht klar, inwieweit diese Tatsache im 3. Keplergesetz berücksichtigt ist. Damit die Formel

U²/a³ = 4pi²/G(M+m)

als exakt angesehen werden kann, müsste da nicht auch die Exzentrizität der Ellipsenbahn des Mondes mit berücksichtigt werden? Die Formel enthält nur die große Halbachse der Ellipse. In welcher Form ist die kleine Halbachse in der Formel berücksichtigt? Oder anders gefragt: Warum spielt die kleine Halbachse keine Rolle, wenn man mal die Exaktheit der Formel unterstellt?

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof
Eugen.Bauhof@t-online.de

P.S.
Ich lasse dabei Sonnen-Gravitation, ART-Phänomene, Gravitationswellen, Gezeitenreibung außer Betracht. Im meinem Beispiel versetze ich das System Erde -Mond an einem Ort im Universum, an dem die nächste Gravitationsquelle eine Million Lichtjahre entfernt ist.

Hallo Eugen!

Die grosse Halbachse ist ein Mass für die Energie der Bahn.

Du darfst sie nicht mit der Apogäumsdistanz verwexeln!

Sie ist (Perigäum plus Apogäum) geteilt durch zwei!

Soll heissen:
Zwei Bahnen mit unterschiedlicher Exzentrizität
aber gleicher grosser Halbachse haben den gleichen Energieinhalt.

Gruss
Thorsten

Hallo Mike,

zu säkular<->periodisch:
Als säkular würde ich eine Störung betrachten, wenn sie im Mittel in eine Richtung wirkt wie z.B. die Periheldrehung des Merkur , auch wenn sie bei den Winkelelementen nach einem Umlauf periodisch erscheint. Periodisch dagegen nur Störungen welche sich über einen gewissen Zeitraum aufheben.

Zitat:

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Die Evektion streckt die Mondbahn tatsächlich in Sonnenrichtung, denn sie ist eine echte Gezeitenwirkung. An einfachsten ist das vorstellbar, wenn man sich den Mond als lauter Krümel auf seiner Bahn verteilt vorstellt. Dann unterläge jeder Krümel denselben himmelsmechanischen Einflüssen wie der ganze Mond. (Die Mondmasse spielt in erster Näherung keine Rolle, weil sie sich aus der Gleichung Gravitationskraft=Beschleunigungskraft herauskürzt.) Wenn wir also einen Ring von Mondstaub um die Erde haben, dann würde daher jeder Partikel dieselbe Bahn besitzen wie der Mond als Ganzes. Der Ring hat aber zwei von der Sonne erzeugte Flutberge, wie das Wasser auf der Erde .

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So habe ich mir das auch mal vorgestellt. Es scheint aber leider ein Irrtum zu sein?! (*)
Ich habe die Mondbewegung (näherungsweise) numerisch berechnet. Dabei wird die Mondbahn in Richtung zur Sonne (und entgegen zur Sonne ) gestaucht und senkrecht dazu gestreckt. (um ca.+-2200km)
Dabei habe ich folgende Näherungen verwendet:
Mondmasse=0
Sonne und Erde fest! d.h. siderischer=synodischer Monat
Exzentrizität=0 d.h. Abstand Erde -Mond ist nach 180° Umlauf gleich.

Grüße UMa

(*) Ich bin mir nicht sicher ob wir vom gleichen Effekt reden. Evtl. meine ich die Variation. Der Effekt den ich meine, tritt auch bei nichtexzentrischen Bahnen auf, auch das mit dem halben syn. Monat scheint zu passen.

Hallo Greuti,

während der Unterschied bei der Mondbahn ca. +-2200km ausmacht, nimmt er für den Saturn stark ab, Äußerer Ring ca ca. +-0,45m durch Sonne , aber ca. +-50m durch den wesentlich näheren Titan.

Grüße UMa

Hallo Eugen,

nein. Mit geschlossener Ausdruck ist gemeint, dass sich die Bahn (Ort und Geschwindigkeit) für alle Zeiten angeben lassen.

Zu der Gleichung.
Die Gleichung

U²/a³ = 4pi²/G(M+m);

ist unter folgenden Bedingungen exakt:
- Newtonsche Mechanik und Gravitation
- keine nichtgravitativen Kräfte (z.B. durch Masseverlusst (Komet), Absorption oder Reflektion von Licht, Poynting-Robertson-Effekt,...
- die Massenverteilungen beider Körper ist exakt Kugelsymmetrisch (d.h. keine Abplattung, Gezeitenverformung, Berge ...)
- die Körper durchdringen sich nicht und keine Kollision
- und natürlich keine anderen störenen Körper

Für Kreisbahnen ist die Herleitung trivial.

Grüße UMa

Zitat:

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während der Unterschied bei der Mondbahn ca. +-2200km ausmacht, nimmt er für den Saturn stark ab, Äußerer Ring ca ca. +-0,45m durch Sonne , aber ca. +-50m durch den wesentlich näheren Titan.

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Ja, das ist wirklich nicht mehr viel. Danke UMa!

Gruss, Greuti

Hallo UMa,

vielen Dank für deine Hinweise. Du hast geschrieben:
"Für Kreisbahnen ist die Herleitung trivial."

Sicher, das ist sie. Ich möchte aber wissen, warum bei einer elliptischen Bahn die Exzentrizität nicht in der Formel enthalten ist. Du musst es nicht herleiten, ein Literaturhinweis (oder ein Link) würde mir genügen.

M.f.G. Eugen Bauhof

P.S.
Ich habe zwar bereits einen Link "Die Mondbahn - Bahnelemente und Störungen" zum Thema entdeckt, aber meine einfache Frage finde ich darin nicht beantwortet.

Hallo Eugen,

die Formel kann trotzdem für Ellipsen angewendet werden.
Die große Halbachse a ist dabei der Mittelwert von
minimaler und max. Abstand beider Körper. Für den Spezialfall 'Kreisbahn' ist der Abstand der Körper zueinander immer gleichgroß (,d.h. minimaler Abstand=maximaler Abstand).
M.E. spielt die Exzentrizität nur bei den Bahnen um den Schwerpunkt eine Rolle. Für die Formel brauchst du sie nicht wirklich.

MfG
Patrick