Denkfehler bei Formelanwendung gesucht (Scheinbarer Durchmesser)

Amenhotep

Aktives Mitglied
Hallo,

offenschtlich ist es zu lange her, dass ich in der Schule Trigonometrie hatte - ich komm einfach nicht drauf.

Statt nachzuschlagen, möchte ich den scheinbaren Durchmesser des Jupiter in Bogensekunden errechnen. Am 15.12.2022 um 18:56 Uhr hatte Jupiter laut Stellarium folgende Daten:

Entfernung (r) = 711021000000 km
Durchmesser (d) = 142984 km

Für den Winkel des scheinbaren Durchmessers w gibt es eine schöne Formel in der Wikipedia (https://de.wikipedia.org/wiki/Scheinbare_Größe):

w = 2 * arctan(d/2r)

Eingesetzt erhalte ich:
w = 2 * arctan(14142984 km / ( 2 * 711021000000 km)) = 2,010967327266 *10^(-7) im Bogenmaß

Im Gradmaß sind das g = w * 180/pi = 2,010967327266 *10^(-7) * 180 / 3,14159 = 0,000011522°

Das sind in Bogensekunden bs = g * 3600 = 0,000011522° * 3600 = 0,0414791786"

Tatsachlich sollte Jupiter laut Internet eine scheinbaren Durchmesser von ca. 39" haben. Wo also ist mein Fehler?

Gruß
Thomas
 
Die Entfernung ist 1000x zu gross, sprich es sind oben Meter, nicht Kilometer.

Gruss
 
_jungeschlagen:

Danke. Den Punkt in 711.021 Mio km nicht als Komma erkannt.

Damit komme ich auf 41,48 ", das ist schon mal die richtige Richtung (wer weiss, wie exakt die Angabe im Internet war...)

Gruß
Thomas
 
Hallo Thomas und allerseits,

auf den ursächlichen Fehler in der Rechnung hat CHnuschti ja schon hingewiesen:
Die Entfernung ist 1000x zu gross, sprich es sind oben Meter, nicht Kilometer.

Ein paar zusätzliche Bemerkungen noch zu der verwendeten Formel für die Winkelberechnung:

(1) Die verwendete Formel zur Berechnung des Sehwinkels w aus dem Durchmesser d und dem Abstand r

w = 2 * arctan(d/2r)

ist auch korrekt. Für die in der Astronomie typischen kleinen Winkel aber eigentlich unnötig kompliziert. Da reicht es völlig aus, den Winkel im Bogenmaß mit der Näherungsformel

w ~ d / r

zu bestimmen.

im konkreten Fall mit d = 140 000 km und r = 716,4 x 10^6 km also

w ~ d / r ~ 0,000 195 rad ~ 195 μrad ~ 40"

Zur Erinnerung, das Bogenmaß Radiant (rad) ist als die Länge des Bogens auf dem Einheitskreis definiert. Der Vollkreis entsprechend einem Winkel von 360° hat ein Bogemnaß von 2π, der Halbkreis entsprechend einem Winkel von 180° hat ein Bogenmaß von π, usw.:

1° = 2π / 360 = π / 180 = 0,017 453 293 rad ~ 17,45 mrad

1' = 0,017453293 rad / 60 = 0,000 290 888 rad ~ 0,291 mrad

1" = 0,017453293 rad / 3600 = 0,000 004 848 rad ~ 4,848 μrad

(2) Dass die arctan-Funktion in der Näherungsformel w ~ d / r gar nicht mehr vorkommt, hat ihre Ursachen in dem Umstand, dass für sehr kleine Winkel die Näherung gilt

tan α ~ α

so dass der arctan wegfällt:

w = 2 * arctan(d/2r) ~ 2 * (d/2r) = d / r

Wie gut diese Näherung gilt, kann man numerisch nachprüfen:

Code:
            α              tan (α)         tan(α) - α
          (rad)         
        
 10°   0,174 532 925    0,176 326 981     0,001 794 056
  7°   0,122 173 048    0,122 784 561    0,000 611 513
  3°   0,052 359 878    0,052 407 779    0,000 047 902
  1°   0,017 453 293    0,017 455 065    0,000 001 772
 50'   0,014 544 410    0,014 545 436    0,000 001 026
 40'   0,011 635 528    0,011 636 053    0,000 000 525
 30'   0,008 726 646    0,008 726 868    0,000 000 222
 20'   0,005 817 764    0,005 817 830    0,000 000 066
 10'   0,002 908 882    0,002 908 890    0,000 000 008
  1'   0,000 290 888    0,000 290 888    0,000 000 000

Da astronomische Objekte am Himmel selten größer als 1° sind, kann man eigentlich fast immer mit der Näherungsformel w ~ d / r rechnen.
Für Planeten mit einem Winkeldurchmesser von weniger als einer Bogenminute ist die Näherung sogar genau auf 9 Dezimalen.

Gruß, Peter
 
Als Freund von "Dickedaumenformeln" rechne ich immer :

1 Winkelgrad bei Abstand zu Durchmesser 60 und
1 Bogenminute bei Abstand zu Durchmesser 3500 und
1 Bogensekunde bei Abstand zu Durchmesser 200000

Das hat weniger als 5 Prozent Fehler und bleibt bis rund 30 Grad "daumengenau".
 
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