Relativistische Geschwindigk. & Beschleunigung!

PSM

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Hallo,
ich habe eine Frage:
ein Raumschiff beschleunige lange Zeit t mit g=9,81 m/s².
Nach etwa einem Jahr hat es mit der Formel v=g*t die Lichtgeschwindigkeit erreicht und später v>c.
Nachdem ein Raumschiff c nicht erreichen und erst recht nicht überschreiten kann, muss diese Berechnung falsch sein. Sie gilt offensichtich nur für nicht-realtivistische Geschwindigkeiten.
Doch wie lautet nun die richtige Berechnung für den Sachverhalt?

Danke im Voraus für Antworten!

MfG
Patrick
 
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Skysurfer

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Re: Relativistische Geschwindigk. & Beschleunigung

Hallo Patrick,

v=c*sqrt((g*t/c)^2/(1+(g*t/c))^2)

müsste gehen. Die Beschleunigung würde dann, von der Erde aus gemessen, immer kleiner, je weiter sich die Rakete der Lichtgeschwindigkeit nähert. Für die Insassen des Raumschiffs bliebe sie aber konstant.

Nach einem Jahr würde die Rakete demnach eine Geschwindigkeit von 213.847.491 m/s erreicht haben.


Viele Grüße
Skysurfer
 

PSM

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Re: Relativistische Geschwindigk. & Beschleunigung

Hallo Skysurfer,
danke für deine Antwort. Die Ergebnisse, die herauskommen scheinen richtig zu sein.
Wenn man dann aber berechnen möchte, wie weit die Rakete in dieser Zeit gekommen ist (von den Insassen aus gesehen), dann müsste man das so rechnen:
s=v/2 *t; da v die Endgeschwindigkeit ist und v_Anfang=0
Oder habe ich mich vertan?

MfG
Patrick
 

Skysurfer

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Re: Relativistische Geschwindigk. & Beschleunigung

Hallo Patrick,

hierbei wäre m.E. zu berücksichtigen, dass sich die Strecke in Bewegungsrichung nichtlinear mit dem Faktor 1/(sqrt(1-v^2/c^2)) verkürzt. Wenn das schnell mal jemand integrieren könnte, ich hab's gerade nicht greifbar <img src="/phpapps/ubbthreads/images/icons/grin.gif" alt="" />

Grüße
Skysufer
 

PSM

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Re: Relativistische Geschwindigk. & Beschleunigung

Hallo Skysurfer, hallo David!
Im Internet habe ich diesen Integrator gefunden. Der hat mir einen einfacheren Term ausgespuckt: c*arcsin(v/c)
Wenn man ihn benützen will, dann muss man v=x setzen, da am Ende "dx" steht.

MfG
Patrick
 

the_viewer

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Re: Relativistische Geschwindigk. & Beschleunigung

Hallo!

Hab gerade herausgefunden, warum mein Term noch so kompliziert ist.

MAPLE 8 löst hatte das Integral ohne irgendwelche Annahmen gelöst (Ich hatte es einfach eingegeben). (Also auch für den Fall das v grösser als c ist, was aber nicht möglich ist). Füttert man Maple zusätzlich mit der Information, dass v kleiner als c ist und das man imaginäre (komplexe) Ergebnisse ausschliessen kann, so lässt sich der Term algebraisch auf deinen vereinfachen.
Aber warum macht der Mathematica 5 automatisch diese Annahmen?
 

PSM

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Re: Relativistische Geschwindigk. & Beschleunigung

Danke für eure Hilfe.
Muss man das s duch den Term mit dem Integral dividieren?

MfG
Patrick
 

eck

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Hallo PSM, Skysurfer und the Viewer,
das war sehr interessant bei Euch reinzuschauen. Vielen Dank für den "Mathematika"-Link. Für PSM gibt es ein ganz feines Buch: Physik der Raumzeit von E.F. Taylor und J. Archibald Wheeler, Spektrum Verlag.
Gruß, eck.
 

PSM

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Hallo eck,
danke für den Buchtipp.Integrale und Differentiale können schon vorkommen, da ich zusätzlich zum Link noch ein Matheprogramm habe, das mir die Integrale löst. Doch wenn zuviele drin sind, bekomme ich Kopfschmerzen. <img src="/phpapps/ubbthreads/images/icons/wink.gif" alt="" />

MfG
Patrick
 

thwalt

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Re: Relativistische Geschwindigk. & Beschleunigung

Hallo David,

Deine Formel kannste ja noch vereinfachn:
Die unter Wurzel aufgelöst ergibt einfach c,
die obere Wurzel in der Klammer ergibt v/c.
Wenn ich allerdings das Integral in denvon Patrick angegebenen Link eingebe,
erhalte ich keinen arcsin oder arctan, sondern

c * arctanh (v/c)
------------------------
sqrt (1-v^2/c^2)

Gruss,
Thomas
 

eck

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Re: Relativistische Geschwindigk. & Beschleunigung

Hallo allerseits,
die Formel für die Geschwindigkeit und die Integrale habe ich mal ausprobiert. Die ersten beiden sind identisch, die dritte weicht bei höheren "v" von den beiden ab. Wenn man 0,9 c einsetzt, ist das Ergebnis 1,119, aber was heißt das? Die Formel für die Geschwindigkeit scheint mir in den höheren v-Bereichen die Beschleunigung zu stark abzuschwächen. Wenn man die v für Zeiten um etwa 3*10^7 sec( das ist 0,95a) ausrechnet, kommt man auf v=0,7c. Wenn man dann in der Umgebung dieser Zeit- und v-Werte differenziert oder einfacher den Differenz-quotienten bildet kommt man auf Beschleunigungswerte um 4m/s^2. Für v=0,7c liegt nach der normalen Formel die Beschleunigung bei 7m/s^2. (9,81*sqrt(1-v^2/c^2). Mir scheint darum die Formel fraglich, so brav sie sich bei kleinen Zeitwerten verhält.Wenns noch jemanden interessiert, kann ich einen numerischen Zugang beschreiben. Gruß, eck.
 

Skysurfer

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Re: Relativistische Geschwindigk. & Beschleunigung

Hallo eck,

mich würde es auch interessieren. Leider fehlen mir präzise Werte, anhand derer ich die Ergebnisse der vorgeschlagenen Formeln überprüfen könnte und im Internet ist hierzu auch nichts zu finden.

Viele Grüße
Skysurfer
 

eck

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Re: Relativistische Geschwindigk. & Beschleunigung

Halo PSM und Skysurfer,
ich war ein paar Tage nicht da und sehe, Ihr seid noch dabei. Um erst einmal einen Überblick zu bekommen, habe ich den Geschwindigkeitsbereich von 0 bis c=1 in 10 Inkremente unterteilt, 0,1 ;0,2 usw bis 1,0. Habe dann mit der Dilatationsformel die dazugehörigen Beschleunigungswerte ausgerechnet und über den Inkrementen der X-Achse auf der Y-Achse abgetragen. Man sieht sofort, daß die Punkte auf einem Kreis mit Radius 9,81 liegen, wie fast erwartet. Das lässt sich leich überprüfen, da sich die Beschl Werte auch durch cos arcsin v/c *9,81 ergeben. Das legt folgende Überlegung nahe: Ein Testteilchen im freien Fall auf einen Attraktor(gravitativ) erfährt bei zunehmender Geschw. eine mit dem Quadrat der Entf. zunehmende Beschleunigung. Das Potential folgt linear der Entf., die Zeit ergibt sich aus dem Integral der potentiellen Energie. (Himmelsmechanik). Muss ich auch erst noch nachschlagen. In unserem Fall ist das Ganze genau umgekehrt, zunehmende Geschw., abnehmende Beschleunigung. Man kann sich in Gedanken ein "Potential" aus gleichbleibender Kraft und zunehmender Masse konstruieren, das über den Weg linear zunimmt. Möglicherweise läßt sich das verwenden. Die Fläche des oben erwähnten Viertelkreises hat die Dimension: Geschw. mal Beschleunigung. Das ist aber auch die Dimension der Leistung.(Weg^2/Zeit^2/Zeit). Weiter bin ich allerdings noch nicht. Jetzt ein paar Zahlen für Skysurfer: Ähnlich wie oben habe ich diesmal die Zeitachse in Abschnitte zu je 3000 000 sec zerlegt, habe dann mit Deiner Formel die dazugehörige Geschw. ausgerechnet und dann aus dieser Geschw.und den 3000000 sec eine mittlere Beschl. Bei den einzelnen Schritten nimm immer die Differenz der jeweil. Geschwindigkeiten. Wenn Du die Liste bis 0,9c (das sind 21 Schritte) Kannst Du die Diferential-quotienten bilden, indem Du Für ein paar Zeitwerte das 1,001-fache nimmmst, und von dieser etwas höheren Geschw. die zugehörige etwas kleinere abziehst und mit 100 000 multiplizierst. Wenn Du diese Werte wie oben über die Geschw. abträgst, erhältst Du eine langgestreckte S-Kurve statt des Kreisbogens. Meine Werte: für Schritt 1 v=0,0976 a=9,67 3. 0,28 8,66 5. 0,44 7,09 7. 0,566 5,49 9. 0,66 4,13 10. 0,700 3,56
14. 0,8 1,99 16. 0,84 1,52 21. 0,899 0,81 .
Wenn ich falschliege, laßt michs wissen. Die Sache mit dem " Potential" werde ich verfolgen. Gruß, eck.
 

PSM

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Re: Relativistische Geschwindigk. & Beschleunigung

Danke eck,
das hört sich bis jetzt viel schwerer an als ich dachte.

MfG
Patrick
 

Skysurfer

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Re: Relativistische Geschwindigk. & Beschleunigung

Hallo zusammen,

ich habe die in meinem Posting vom 22.08.2004 11:19 Uhr angegebene Formel in Excel analysiert und als Grafik aufgezeichnet. Wie Du schon sagtest, eck, ist der Geschwindigkeitszuwachs im zeitlichen Verlauf zu gering. Inzwischen habe ich jedoch in meiner Literatur[1] eine mögliche Lösung gefunden. Für die Geschwindigkeitsberechnung wird dort die Formel

Vmax = g*t / sqrt(1+g^2*T^2)

und für die Distanz

S=2*sqrt(1+g^2*t^2)-1 / g

vorgeschlagen. Da in diesen Formel c=1 gesetzt wurde, ist die Zeit in 1/c anzugeben, bzw. sieht die Formel für die Geschwindigkeitsberechnung dann folgendermaßen aus

Vmax = g*t / sqrt(1+(g*t)^2/c^2)

Leider sehen meine Ergebnisse auf Basis dieser Formel in der Grafik stimmig aus, decken sich aber nicht mit der ebenfalls in dem hier erwähnten Buch[1] für die kontinuierliche Beschleunigung mit 9,81m/s^2 angegebenen Tabelle:

<pre><font class="small">code:</font><hr>
Zeit Entfernung Ergebnis[1] mein Ergebnis
c c
________________________________________________
4 Tage 73 Mio. Km 0,0028 0,01130822
3 Monate 35 Lichtstunden 0,065 0,24659353
4 Jahre 0,85 Lichtjahre 0,72 0,97113359
57 Jahre 26,6 Lichtjahre 0,9977 0,99985148
</pre><hr>
(Bitte entschuldigt die uneinheitliche und unpräzise Darstellung der Entfernungswerte, aber die Daten sind leider so angegeben)

Vielleicht könnt Ihr Euch noch einmal die Formeln für die Endgeschwindigkeit und die zurückgelegte Distanz ansehen.

Viele Grüße
Skysurfer

[1] Reisen durch die Raumzeit, Leslie Marder, Vieweg 1982, ISBN 3-528-08421-9, S.76
 

PSM

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Re: Relativistische Geschwindigk. & Beschleunigung

Hallo Skysurfer,
mit der Distanzformel kann was nicht stimmen:
wenn t in s und g in m/s² gemessen werden, dann erhält man folgende Einheiten: in der Wurzel steht m²/s^4 *s² = m²/s², wenn man die Wurzel zieht, so ist die Einheit m/s.
Nun muss man aber noch durch g dividieren, also: m/s : m/s² = m/s * s²/m = s!! Aber das ist eine Zeiteinheit.

Außerdem sprechen die Daten aus dem Buch "Einsteins Einmaleins. Einführung in die RT." von Hermann Bondi dagegen: Bei einer 40 jährigen Beschleunigung von 2 g hätte man eine Entfernung von etwa 600 Mio. Lichtjahre zurückgelegt. (Formeln dazu stehen leider nicht drin.)

MfG
Patrick
 

eck

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Re: Relativistische Geschwindigk. & Beschleunigung

Hallo PSM und Skysurfer,
PSM, bei Deiner Dimensionsanalyse hast du übersehen, daß die Zeit in Metern (sec/c) einzusetzen ist. Und für Skysurfer: Deine Rechnung ist richtig, für 4 Tage kannst Du einfach mit a=9,81 rechnen dann kommst Du auf v/c= 0,011308 und s= 5,858*10^11 m =585,8*10^6 km. Für 3 Monate, auf v/c= 0,256 s= 3,039*10^14^m =281 Lichtstunden. Im Buch hat der Setzer die Zahlen verwechselt. Die Entfernungen über der Zeit aufgetragen müssen übrigens auf einer Gleichseitigen-Hyperbel mit einer 1/1 Asymptote liegen. Für Deine Gleichungen bin ich dankbar. Gruß, eck.
 

PSM

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Re: Relativistische Geschwindigk. & Beschleunigung

Hallo eck,
danke für die Korrektur. Das habe ich wohl überlesen.
Trotzdem kommt bei mir immer ein falsches Ergebnis heraus. <img src="/phpapps/ubbthreads/images/icons/frown.gif" alt="" />
Kannst du mir die Streckenberechnung für 57 Jahre vorrechnen? Dafür wäre ich sehr dankbar.

MfG
Patrick
 

eck

Mitglied
Re: Relativistische Geschwindigk. & Beschleunigung

Hallo PSM und Skysurfer,
die Formel für die Entfernung hat der Setzer auch verstümmelt. Richtig ist: ((sqrt (1+(g*t)^2)-1)*c^2)/g Die Zeit "t" ist in Metern (t/c) einzusetzen. Nimm das Beispiel 4 Tage, dann kannst du das Ergebnis noch einfach mit a=9,81 überprüfen. Ich bin sicher, jetzt klappts. Sonst frage ruhig. Aber die Angabe in Deinem Einstein-Buch ist Mumpitz. Selbst Licht schafft in 40 Jahren nur 40 Lichtjahre.
Gruß, eck.
 
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PSM

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Re: Relativistische Geschwindigk. & Beschleunigung

Jaaa, es klappt. <img src="/phpapps/ubbthreads/images/icons/smile.gif" alt="" />
Vielen Dank an alle Mithelfer.

MfG
Patrick
 

eck

Mitglied
Re: Relativistische Geschwindigk. & Beschleunigung

Hallo PSM, das freut mich. Aber die ganzen Formeln sind nur brauchbar bis etwa 0,5 v/c. Du hast mich auf eine Fährte gesetzt, da will ich noch ein wenig draufbleiben. Bis dann, eck.
 

Mischa

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Re: Relativistische Geschwindigk. & Beschleunigung

Aber die Angabe in Deinem Einstein-Buch ist Mumpitz. Selbst Licht schafft in 40 Jahren nur 40 Lichtjahre.

Vielleicht sind die 40 Jahre mit 2g ja in Eigenzeit gemeint. Das waere plausibel. Ob da dann 600 Mio Lichtjahre rauskommen, habe ich jetzt nicht "nachintegriert".

Mischa
 

eck

Mitglied
Re: Relativistische Geschwindigk. & Beschleunigung

Hallo Mischa, Du bist richtig gut. Schon habe ich eine Sonntagsbeschäftigung. Gruß, eck.
 

eck

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Re: Relativistische Geschwindigk. & Beschleunigung

Mischa das kann hinkommen.Wer mit v=0,(15 Neunen)c reist, hat einen Dilatationsfaktor von 22*10^6 dann braucht er für d=6*10^8 Lichtjahre nur tau= 26,8 Jahre. Den fehlenden Faktor 2 braucht er wahrscheinlich zum beschleunigen und für einen Kaffeeee.
Gruß, eck.
 

clapebe

Mitglied
Re: Relativistische Geschwindigk. & Beschleunigung

dem kann ich mich anschließen.
Und eine persönliche Frage habe ich noch:

du hast mal irgendwo angemerkt, wo Du dich jetzt befindest, sind keine deutschen Zeitschriften zugänglich.
In welchem abgelegenen Winkel dieser Welt bist Du zu finden? <img src="/phpapps/ubbthreads/images/icons/wink.gif" alt="" />

Gruß Clapebe
 

Mischa

Mitglied
Re: Relativistische Geschwindigk. & Beschleunigung

Das ich gerade fuer diesen kurzen Beitrag so ein Lob erhalte... noch dazu wo ich zu faul war das selbst auszurechnen <img src="/phpapps/ubbthreads/images/icons/wink.gif" alt="" />

Zu finden bin ich derzeit und fuer die naechsten drei Jahre auf La Palma. Da arbeite ich gegenwaertig am William Herschel Teleskop.

Mischa
 

eck

Mitglied
Re: Relativistische Geschwindigk. & Beschleunigung

Hallo allerseits,
für Faule habe ich eine Milchmädchenrechnung aufgemacht. Bei einer stetigen Kraft von 9,81 Kg (alter Art) über einen Weg von 6*10^8 Lichtjahren sammelt ein Kg eine Energie von 5,568585956*10^25 mKg auf. Um auf die gleiche Energie zu kommen, muß das Kg auf 0,(18 Neunen) gefolgt von 67438607502651
v/c beschleunigen das ergibt einen Dilat Faktor von
1239177495. Das nun so massige Kg mal c^2/2 sollte haargenau
die vorige Energie ergeben. Energie geteilt durch Zeit ist Leistung und Leistung durch Geschwindigkeit ist Kraft. Die genannte Energie durch 6*10^8 Jahre (in sec) durch (c) ist 9,81 Kg. Ich wollte allerdings einfach mal sehen, ob der Rechner im PC da mitmacht. Tut er.
Gruß, eck
 
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