Durchbiegung

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Lorchi

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Hallo,
ich habe mal die Durchbiegung eines einseitig eingespannten Werkstücks, das am Ende belastet wird, in der Literatur nachgeschlagen, und habe folgendes gefunden:

f = L^3 * F / (3 * E * I)
Werkstücklänge L
Durchbiegung f
Elastizitätsmodul E
Flächenträgheitsmoment I
Kraft F

Dazu folgende Gedanken: wenn ich dasselbe Werkstück nehme, an beiden Enden auflege und in der Mitte durchbiege (in diesem Fall würde sich das Werkstück verhalten wie in der Mitte eingespannt, da es dort wegen der Symmetrie waagerecht sein sollte), dann müsste
- die Länge in der Berechnung halbiert werden (2 durchzubiegende Teile halber Länge), dazu
- die Kraft auf beide Teile aufgeteilt werden, also auch halbiert.

Das führt mich zur jetzigen Durchbiegung f2 von
f2 = f / 16.

Ist das richtig? Bin halt kein Mechaniker, nur Bastler <img src="/phpapps/ubbthreads/images/icons/wink.gif" alt="" />
Grüße, Henning
 
Moin Henning,

klasse Gedanke, kann ich gut nachvollziehen;)
Bin ich selbst noch garnicht drauf gekommen <img src="/phpapps/ubbthreads/images/icons/blush.gif" alt="" />
War erst noch mit deinen "f2 = f / 16" durcheinandergekommen.
Du hast vollkommen Recht!

Also ein Träger auf 2 Stützen, nicht eingespannt (Enden frei verschiebbar) mit 1 Last mittig:
f = L³ * F / (48 * E * I)


Und ein Träger auf 2 Stützen, nicht eingespannt (Enden frei verschiebbar) mit Streckenlast:
f = L³ * 5 * F / (384 * E * I)
oder gekürzt
f = 0,013 * L³ * F / (E * I)

Wobei als Fixwerte da genannt werden:

E-Modul bei Stahl immer 210000 N/mm²
E-Modul bei Alu immer 70000 N/mm²

Und genau diese FIXwerte zeigen bei genauerer Betrachtung, warum eine Welle aus Wald und Wiesen-Stahl EXAKT genauso stark durchbiegt wie eine Welle aus Superhastenichgesehn Federstahl mit 5 facher Festigkeit des Wald und Wiesen-Stahls.
Grooooßer Zauber.
Nur....wenn der Wald und Wiesen-Stahl irgendwann der Belastung nicht mehr standhält und sich plastisch verformt, federt der Superhastenichgesehn Federstahl locker aus der Hüfte elastisch - ohne bleibende Verformung - zurück!

Ebenso zeigen sie, daß eine Welle (gleicher Abmessung natürlich) aus irgendwelchem Alu EXAKT 3 mal so stark durchbiegt wie eine Welle aus irgendwelchem Stahl.

Es gibt da innerhalb der Werkstoffgruppen Alu und Stahl gaaaaaanz geringe Unterschiede im E-Modul, die für uns aber wirklich nicht in´s Gewicht fallen!
 
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Hallo Pteng,

kann man auch ausrechnen, wie stark sich ein so gelagerter Stab verbiegt, wenn er nicht mittig, sondern an zwei Punkten, die beide gleich weit von der mitte des Stabes entfernt sind, belastet wird.

Viele Grüsse

Gerhard
 
Hallo,

Ja, kann man: Man verkürzt den Stab einfach so, das er wieder zwischen zwei Stützen aufliegt. Die "in Echt" rechts und links überstehenden Teile tragen ja zur Stabilität nichts bei.
 
Hallo Spatz,

vielleicht habe ich mich nicht genau genug ausgedrückt: Mal eine Beispiel: Der Stab ist 500mm lang. Bei Länge 0 und bei Länge 500 liegt er auf. Bei Länge 100 und bei Länge 400 wird er nach unten gedrückt, weil an diesen beiden Punkten je die gleiche Last von X Kilo drückt. Wieviel mm gibt der Stab in den Punkten 100 bzw. 400 nach ?

Viele Grüsse

Gerhard
 
Hab dich schon verstanden!

Hi Gerhard,

jo..man kann so ziemlich alles berechnen!

Du meinst also einen Träger auf 2 Stützen, der zwischen den 2 Stützen ZWEI Lasten hat.

Bei symetrischem Aufbau:

f= F * a * (8 * a² + 12ab + 3 * b²) / 24 * E * I

F= Kraft in Newton (Masse in kg * 9,81)
I= axiales Flächenmoment 2ten Grades in mm^4
f= maximale Durchbiegung in mm
a= Abstand jeweils vom Auflager links und rechts zum Kraftangriffspunkt in mm
b= Mittenabstand zwischen den Angriffspunkten in mm
Vorrausgesetzt, a ist auf beiden Seiten gleich (symetrisch)


In deinem Beispiel-Fall also:

f= xKilo * 9,81 * 100 * (8 * 100² + 12 * 100 * 300 + 3 * 300²) / 24 * 210000 * I

 
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Hallo,

Ok, da hab ich das anderst aufgefaßt, aber Pteng hats richtig verstanden und auch schon die Lösung... <img src="/phpapps/ubbthreads/images/icons/wink.gif" alt="" />
 
Gedubbelt

Hallo Gerhard,

das ist dann nicht mehr ganz so einfach.

Ich habe mal gedubbelt (der Internetuser googelt, der Maschinenbauer "dubbelt" im Taschenbuch für den Maschinenbau von Dubbel <img src="/phpapps/ubbthreads/images/icons/wink.gif" alt="" /> ), einen explizit aufgelösten Fall wie diesen habe ich im Dubbel nicht finden können.

Theoretisch könnte man aber zwei Einzelbelastungsfälle durchaus superpositionieren.

Da die Belastungsfälle ja aber linearisierte Lösungen von Differentialgleichungen sind, muss man da etwas aufpassen und die Randbedingungen genau beachten, sonst kommt man nicht zum richtigen Ergebnis.

Du verzeihst, wenn ich das jetzt nicht mache... <img src="/phpapps/ubbthreads/images/icons/wink.gif" alt="" />

Grüße
Thomas
 
Re: Gedubbelt

Aber Thomas,

hast Du denn noch nicht mitbekommen, daß niemand nach dem Studium noch dubbelt, da man im Dubbel auf ein exaktes Prob sowieso NIE eine exakte Antwort findet?

Übrigends der Statiker statikt, da er diese Basics eh im Kopf hat.
 
Hallo Pteng,

da habe ich ja gleich die richtigen erwischt!

Jetzt frage ich mich gerade: wie kommst Du auf diese Lösung (2 Druckpunkte)? Hast du ein Integral ausgerechnet, oder einen anderen Ansatz verwendet? Mir kommt als Ansatz folgende Idee:

Sei der Stab 2*L lang.
Wenn man die Gewichtskraft vernachlässigt (nur für den Ansatz), müssen sich die Kräfte aufheben (d.h. die Aufliegekraft F gleich der "Runterdrückkraft" F).
Ausgehend vom Mittelpunkt liegt der Druckpunkt im Verhältnis c der Länge bis zum Ende (0<c<1), also in der Entfernung c*L.

Durchbiegung (Mittelpunkt) f = f1 - f2, mit
f1 = L^3 * F / (3*I*E), und
f2 = (c*L)^3 * F / (3*I*E).

Oder ist diese Art der Superposition hier nicht zulässig?

Grüße, Henning
 
Re: Durchbiegung ... komfortabler

Dafür gibt es ein kleines Tool, mit dem man das leicht berechnen kann, ohne jedes Mal eine andere Formel raussuchen zu müssen. <img src="/phpapps/ubbthreads/images/icons/laugh.gif" alt="" />

Schau mal auf: http://www.uni-weimar.de/~richte10/uni.html
und lad dort das Programm "Beamax" herunter.

Ein Träger auf 2 Stützen mit 2 Lasten kann man dann wie folgt berechnen:
<pre><font class="small">code:</font><hr>
| |
\|/ \|/
===================
^ ^ <-- eine Skizze ;)
fest Gleitlager
</pre><hr>

Der Träger sollte immer ein festes Lager haben, die anderen sind dann Gleitlager

  • neues Projekt anlegen und länge des Träges eingeben (10m)
  • Edit->Create->Hinged Support (= Festes Lager) am Anfang (0 m) anlegen ... oder wenn der Träger Kragarme besitzt mit etwas Einzug vom Rand
  • Edit->Create->Roller Support (= Gleitlager) am Ende (10m)
  • Edit->Create->Point Load (= Punkt Last) ... Größe einstellen und Ort eingeben ... für die 2 Last 2 Mal erzeugen bei 2m und 8m --> das statische System ist jetzt fertig
  • unter Edit->Properties kann man E(= Modulus of elasticity) und I(= Moment of inertia) einstellen (ist am Anfang für einen IPE300-Stahlträger eingestellt) ... unbedingt Einheiten beachten!
  • I für einen Rechteckquerschnitt ist (b*h^3)/3 ... h = Seite in Kraftrichtung
  • jetzt noch unter View-> Displacement (=Durchbiegung) und Numerical Values einschalten ... und im Bild ablesen

Du kannst dann dort auch die Lasten verschieben/hinzufügen und schauen, wie sich die Durchbiegung ändert. Viel Spass beim probieren,

Stefan
 
Moin Henning,

tja, vor ca. 20 Jahren (boohh...bin ich ´n oller Sack) haben wir das Ganze mal über Integrale auseinandergepflückt.
Danach dann natürlich nur noch angewendet.

Ehrlich gesagt, daß krich ich nicht mehr ohne Nachlesen auf die Reihe.

Da ich unter anderem mit Statik einiges zu tun habe, liegen da natürlich so einige Formeln schon im internen ROM.

Das ist für mich nun wie die Frage, wieso ich für PI 3,14... annehme <img src="/phpapps/ubbthreads/images/icons/wink.gif" alt="" />

Aber verlaß dich darauf, die Formel ist richtig!

P.S. Ich hab auch mal gegoogelt, aber leider nix gefunden, obwohl es irgendwo Formelsammlungen geben muß, wo auch diese Geschichten verzeichnet sind.
 
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