Mondkrater --> Abschätzen der Tiefe bzw. Durchmesser möglich?

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Caine

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Hallo zusammen,

gestern habe ich mir vor allem die Mondkrater vorgenommen und mir fiel auf, dass der Schattenwurf der Kraterränder in den Krater hinein total unterschiedlich war. Eigentlich logisch, das hängt ja davon ab, wie breit und tief der Krater ist und somit, wieviel von ihm vom Schatten "abgedeckt" wird.

Jetzt ist mir folgende Frage in den Sinn gekommen: Kann mann, wenn man die Mondphase kennt (z.B. Halbmond) und damit auch verbunden den Winkel des Lichteinfalls auf den Krater, als Daumenregel die Breite bzw. Tiefe eines Kraters anhand des Schattenwurfs ungefähr abschätzen? Ich stelle mir das so vor wie einen Stock, der einen Schatten wirft: Ich brauche neben dem Sonnenstand auch eine Angabe über die Länge des Stocks - dann kann ich die Länge des Schattens bestimmen. Oder die Länge des Stocks berechnen, wenn ich die Länge des Schattens kenne. Aber eine zusätzliche Angabe brauche ich. Entsprechend glaube ich nicht, dass man anhand der Mondphase und des Schattenwurfs Rückschlüsse auf Tiefe/Umfang der Krater schließen kann.

Gibt es eine andere Faustregel, mit der man den Durchmesser und/oder die Tiefe der Krater einigermaßen als Hausnummer bestimmen kann? Quasi so als quick and dirty Lösung... Oder muß man da den Krater kennen, damit man das googlen kann?

Danke euch und CS!

Christian
 
Hallo Christian,

Das kann man schon machen und da gibt es mehrere Methoden.
Vor einiger Zeit habe ich mir ein altes Baader Microguide Messfeldokular gekauft,
damit habe ich zum Ausprobieren dann den Krater Plato vermessen und kam erstaunlich
nah an dessen realen Durchmesser (Gemessen glaube ich 99km, real 101km oder so).
Das sind relativ einfach Winkelrechnungen. Entfernung Mond-Erde zum Messzeitpunkt sind bekannt, gemessener Winkel des Mondkraters auch, kann man also dessen realen Durchmesser in
z.B. Kilometer ausrechnen.
Die größte Problematik mit der Schattenmethode scheint mir zu sein, dass die Mondoberfläche ja nicht perfekt rund ist. Wenn ein Berg auf einem langen Abhang oder einer leicht geneigten Ebene
steht, die von der Sonne "wegfällt", dann würde der Schatten eben auch sehr viel länger sein.
Und umgekehrt.
Wenn Du eine Länge auf dem Mond kennst, könntest Du die noch mit der Messskala eines
Messokulares "abtragen" und damit andere Längen (oder Durchmesser) in Relation setzen.
Die Tiefe von Kratern find ich schwierig. Wie wäre es mit einer Raumsonde mit Radarsensor?
Spass beiseite, das weiss ich auch nicht.

Ich hoffe, ich konnte Dich ein wenig weiterbringen.

Henning
 
Moin zusammen!

> Paul Ahnert hat seinerzeit in seiner "Kleinen praktischen Astronomie" eine Anleitung gegeben. Irgendwo habe ich das Buch noch, ich mss mal die Stelle heraussuchen.

An das Buch mußte ich auch spontan denken, als ich die Anfrage gelesen habe. Ahnert beschreibt in Kap. 2.5.5. die Messung von Mondberghöhen relativ zur umgebenen Höhenebene. Das Kapitel ist etwa zweieinhalb Seiten lang (S. 32-35).
 
Puh, das schaut ja kompliziert aus - aber ich hab ja danach gefragt ;-). Danke auf jeden Fall für den Link.
Mal schauen, ob ich in der Stadtbibliothek das Buch von Paul Ahnert ausleihen kann - mich würde es einfach mal interessieren, ob und wie das geht. Halt etwas verständlicher geschrieben...
 
Hallo Christian,

eine "einfache" Formel kenne ich dazu nicht.

Also ich denke man kommt da nicht um die Sonnenhöhe h zum Zeitpunkt der Beobachtung (bzw. des Fotoschießens) herum.
Denn wenn man diesen Winkel kennt, ist die Höhe h_K des Kraterwalls einfach

h_K = s·tan(h)

s... gemessene Schattenlänge am Foto (z.B. Pixel), umgerechnet in km

krater_querschnitt.jpg


Bekannt sind ja der Kraterdurchmesser D in [km] aus Buch/Internet sowie der scheinbare Durchmesser des Krates D_px zum Zeitpunkt der Beobachtung in Pixel. Man misst dann auch die Schattenlänge vom Kraterrand bis zum nächstgelegenen Schattenpunkt am Boden des Kraters in Pixel. Die Schattenlänge in [km] am Mond ist dann etwa

s = (D/D_px)·s_px

Liegt der Krater relativ weit von der selenografischen Länge 0 entfernt, sieht man den Schattenwurf entsprechend der Krümmung verkürzt, man kann das mit

s_corr = s/cos(l_K)

l_K... selenografische Länge des Kraters

kompensieren. Liegt der Krater halbwegs nahe der Länge 0, sieht man den Schatten also ziemlich genau "von oben", kann das entfallen.

Die Abschätzung der Höhe einer Kraterwand am Mond könnte wie folgt geschehen:
--------------------------------------------------------------------------------------------

Bekannt: selenografische Länge und Breite des Kraters K = (l_K, b_K) aus Rükl/Internet

Für die Berechnung des Winkels h (Sonnenhöhe zum Zeitpunkt der Beobachtung) benötigt man Länge und Breite des subsolaren Punktes S am Mond (das ist jener Punkt, in dem die Sonne gerade im Zenit steht).

Der subsolare Punkt in Länge und Breite sei S = (L_0, B_0).

Die Lage des subsolaren Punktes hängt aber von der momentanen Libration ab, welche man am besten mit einer Astronomiesoftware ermittelt. Im Internet gibt es auch Javascripts, die das bewerkstelligen, z.B. Approximate Moon physical ephemeris in Javascript (Werte für "Subsolar point Lat (Bo)" und "Subsolar point Long (Lo)").
Dieses Javascript ist halt nicht ganz so genau wie ein Astronomieprogramm, aber gut genug. Für diese Abschätzung sollte es reichen...

Um die Sonnenhöhe h am Punkt des Krates zu berechnen, betrachtet man nun das sphärische Dreieck Krater-Pol-S (P ist der Pol des Mondes), mit den Winkeln PK, KS und PS sowie dem Polwinkel KPS, dann hat man

cos(KS) = cos(PK)·cos(PS) + sin(PK)·sin(PS)·cos(KPS)

sph_dreieck_mond.jpg


Vom Punkt T am Terminator aus gesehen steht die Sonne gerade am Horizont, der Winkel TS ist 90°. Wandert man von T in Richtung S, dann ist die Sonnenhöhe am Punkt des Kraters K gerade h. So weit so gut.

Aus der Skizze ergibt sich:

TS = 90° ==> KS = 90°-h
PK = 90°-b_K
PS = 90°-B_0
KPS = L_0-l_K (Polwinkel)

Einsetzen liefert

cos(90°-h) = cos(90°-b_K)·cos(90°-B_0) + sin(90°-b_K)·sin(90°-B_0)·cos(L_0-l_K)

oder vereinfacht durch die jeweiligen Komplementärwinkel

sin(h) = sin(b_K)·sin(B_0) + cos(b_K)·cos(B_0)·cos(L_0-l_K)

Die Sönnenhöhe h am Krater ist dann der arcsin(...) dieser Größe. Hat man h ermittelt, ergibt sich die Höhe der Kraterwand h_K mit

h_K = s·tan(h)

Für kleine Sonnenhöhen ist sin(h)≈tan(h), d.h. man könnte hier sofort

h_K = s·sin(h)

rechnen, ohnen einen wesentlichen Fehler zu machen.


Formel Sonnenhöhe von Meeus
-----------------------------------
Die Sonnenhöhe an einem Punkt am Mond wird in den "Astronomical Algorithms" (Formel 53.3) wie folgt angegeben:

sin(h) = sin(b_0)·sin(θ) + cos(b_0)·cos(θ)·sin(c_0 + η)

Meeus verwendet hier für die Länge des Kraters η und für die Breite θ, was bei uns hier l_K und b_K entspricht. b_0 ist unser B_0, die Breite des subsolaren Punktes S.

Außerdem ist c_0 die Colongitude der Sonne. Es ist aber

c_0 = 90°-L_0 bzw.
c_0 = 450°-L_0

daher ist in Meeus' Formel

sin(c_0 + η) = cos(L_0 - l_K)

Man erhält also denselben Wert wie in unserer Formel oben, da alle Sinus- und Cosinusgrößen gleich sind, wie man sich leicht durch Einsetzen überzeugen kann.

Das "Problem" bei der ganzen Sache dürfte die Vermessung des Fotos sein, weil der Schatten nicht ganz scharf ist und die gemessenen Abstände naturgemäß Fehler ergeben.
Sprich, der eine misst zB 89px , der andere 87px oder 92px. Selbiges gilt für den Kraterdurchmesser selbst.
Die Sonnenhöhe h zu einem bestimmten Zeitpunkt lässt sich sehr gut berechen, die Fehlerquellen liegen also bei der "Vermessung".

Beispiel
========================================
Als Bsp. habe ich das Foto von hier genommen:
http://www.astronomie-heidenheim.de/quodlibet/Durchmesser und Tiefe eines Mondkraters-signed.pdf

Krater Albategnius, D = 131 km (Internet, Rükl gibt 136 km an)
l_K = +4° (3.96°)
b_K = -11.2°

2016-12-06 19:00 UT
L_0 = 90°
B_0 = 1.5°
(Daten aus dem Javascript oben)

krater_vermessung.jpg

Bild-Kraterdurchmesser gemessen: ≈ 244px
Bild-Schattenlänge gemessen: ≈ 89px

s = (D/D_px)·s_px

s = (131/244)·89 ≈ 47.78 km ≈ 48 km Schattenlänge

Wegen der geringen Länge des Kraters l_K = 4° kann man sich die Verzerrungs-Korrektur sparen.

Damit ist

sin(h) = sin(b_K)·sin(B_0) + cos(b_K)·cos(B_0)·cos(L_0-l_K)

sin(h) = sin(-11.2)·sin(1.5) + cos(-11.2)·cos(1.5)·cos(90 - 4) ≈ 0.06332

h = arcsin(0.06332) = 3.63°

h_K = s·tan(h) = 48 km · tan(3.63) ≈ 3 km

Die abgeschätze Kratertiefe ist ca. 3km.
Der Literaturwert liegt bei 3.2 km, hab ich aber nicht gegoogelt.

Näherung:
Wenn die Breite des subsolaren Punktes B_0 nahe 0° liegt (oder ist), verkürzt sich die oben angegebene Formel für die Sonnenhöhe auf

sin(h) = cos(b_K)·cos(L_0-l_K)

cs,
harald

--
 
Ich habe nochmal recherchiert und siehe da, die Breite des subsolaren Punktes B_0 ist immer ein sehr kleiner Winkel, er wird nie kleiner/größer als ±1.6°

S_latitude.png

S_latitude_1960_2040.png


So gesehen könnte man sin(B_0) ≈ 0 und cos(B_0) ≈ 1 setzen, was zu der recht einfachen Beziehung führt

sin(h) = cos(b_K)·cos(L_0-l_K)

Wenn sich dann auch h noch als kleiner Winkel entpuppt, kann man sin(h) ≈ tan(h) setzen und die Höhe der Kraterwand ist

h_K = s·tan(h) ≈ s·sin(h) also

Code: 
==========================================================
h_K ≈ s · cos(b_K)·cos(L_0-l_K)

s... gemessene Schattenlänge am Foto (z.B. Pixel), umgerechnet in km
b_K... selenografische Breite des Kraters
l_K... selenografische Länge des Kraters
L_0... Länge des subsolaren Punktes S
==========================================================

Tadaaaaa! :cool:

Mit all diesen Vereinfachungen bekommt man in meinem obigen Beispiel dann

h_K ≈ 48km · cos(-11.2)·cos(90 - 4) = 3.3 km

was gar nich mal schlecht ist!

Man muss halt aufpassen, immerhin stecken da eine ganze Menge Vereinfachungen drin.
  • Der Krater hat eine kleine selenografische Länge (kaum Verzerrung)
  • Die Breite des subsolaren Punktes wird vernachlässingt
  • Die Sonnenhöhe h ist klein
  • Die Bild-Vermessung ist kritisch, ein paar Pixel mehr oder weniger machen relativ viel aus.

Also scharfe Bilder machen und genau messen! ;)
cs,
harald

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Servus Harald,
das war ein großartiger Beitrag!
Ich habe es nachgerechnet und gegengeprüft, stimmt alles.....o_O

Gruß
Ralf
 
Hallo Ralf,

vielen Dank, es ist fein wenn das jemand von der beobachtenden Zunft bestätigt. Soll ja nicht alles hier im luftleeren Raum herumschwirren! :LOL:

Was mir im Forum auffiel ist dass die Leute zwar tolle (Mond-)Fotos posten, seltener hat man aber dabei genaue Angaben zum Zeitpunkt der Aufnahme, sodass man zwar Krater XY (und dessen Schatten) auf dem Foto super erkennen kann, aber keine Möglichkeit hat, zu rechnen....
Gibt sicher auch gute Fotos wo genaue Angaben stehen, bin aber momentan zu faul zum Suchen.

cs,
harald

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