Der Mittelpunkt des Regenbogens liegt der Sonne am Himmel genau gegenüber. Der Regenbogen besteht aus jenen Punkten, die von diesem Mittelpunkt einen bestimmten Winkelabstand R haben.
Der Winkelabstand R zwischen zwei Punkten am Himmel, die durch ihre Azimute und Höhenwinkel Az1, h1 bzw. Az2, h2 gegeben sind, beträgt (
http://de.wikipedia.org/wiki/Großkreis#Berechnung):
cos(R) = sin(h1)*sin(h2) + cos(h1)*cos(h2)*cos(Az2-Az1)
Punkt 1 sei der Mittelpunkt des Regenbogens. Aus Koordinaten und Zeitangabe folgt eine Sonnenhöhe von etwa 5°, die Höhe h1 von Punkt 1 beträgt also -5°.
Als Punkt 2 wählen wir einen jener Punkte, in denen der Regenbogen den Horizont schneidet. Der Höhenwinkel dieses Punktes ist h2 = 0°. Gesucht ist der Azimut dieses Punktes, d.h. welche Azimutdifferenz Az2-Az1 vom Regenbogen-Mittelpunkt muss ein Punkt auf dem Horizont haben, damit sein Winkelabstand vom Mittelpunkt gerade den Betrag R hat?
Wegen h2 = 0 vereinfacht sich obige Formel auf
cos(R) = sin(h1)*0 + cos(h1)*1*cos(Az2-Az1)
cos(R) = cos(h1)*cos(Az2-Az1)
Az2-Az1 = arccos(cos(R)/cos(h1))
Laut
Wikipedia hat die rote Außenkante eines Regenbogens einen Radius von etwa 42° und die blaue Innenkante einen Radius von etwa 40°. Wählen wir als Mittel R = 41°, so liefert die Formel
Az2-Az1 = arccos(cos(41°)/cos(-5°))
Az2-Az1 = arccos(0.75759...)
Az2-Az1 = 40.75°
Der andere Schnittpunkt mit dem Horizont liegt um dieselbe Azimutdifferenz auf der anderen Seite. Die Azimutdifferenz zwischen beiden Schnittpunkten beträgt also 2*40.75° = 81.5°. Deine Schätzung liegt also nicht schlecht.
Tschau,
Thomas
