Fangspiegelversatz - jetzt komplette Entwirrung
Hallo Christian,
bevor ich zum eigentlichen Thema komme, muß ich eine Definition angeben, die notwendig ist, um bei der Interpretation aller Ergebnisse Mißverständnisse zu vermeiden:
Man versteht unter dem „Offset” den rechtwinkelig zur optischen Achse des Hauptspiegels gemessenen Versatz der Fangspiegelmitte.
Wie bekannt, darf sich für rotationssymmetrische Ausleuchtung des Bildfeldes die Mitte des Fangspiegels nicht im Durchstoßpunkt der opt. Achse mit der Fangspiegelebene befinden, sondern der Fangspiegel muß innerhalb der Fangspiegelebene parallelverschoben werden (Begründung spare ich mir hier, da sie schon zigfach vorliegt). Diese Verschiebung hat bei Newtons, deren Okularachse rechtwinklig zur Hauptspiegelachse verläuft, eine Richtung von 45° zur opt. Achse. Diese kann man sich zerlegt denken in eine Verschiebung längs der opt. Achse zum Hauptspiegel hin und eine zweite, gleich große Verschiebung rechtwinkelig dazu vom Okular weg. Die letztgenannte Verschiebung ist der Offset. Die andere Verschiebung längs der opt. Achse zum Hauptspiegel hin hat nur zur Folge, daß bei der Offset-Verschiebung der Spiegel seine Spiegelebene beibehält, und wirkt sich ansonsten auf die Konstruktion des Newtons nicht weiter aus, ist für uns also unwichtig.
Und nun zur Sache. Heute habe ich leider nicht genug Zeit, um alle meine Überlegungen ganz ausführlich darzustellen. Aber ich glaube dennoch, ein wenig zur Entwirrung beitragen zu können, wenn ich zumindest die Ergebisse meiner gestrigen Berechnungen hier mitteile. Die gestrige Nacht war in München seit langem die erste laue Sommernacht, die ich darum auf meiner Terrasse mit einem guten Rotwein sowie Faserschreiber und Papier verbrachte. Die von Dir zitierten Formeln beider Varianten, also mit dem fraglichen Term (1 - 2 · T/f) bei der ersten Variante regelgerecht im Zähler und bei der zweiten regelwidrig (aber möglicherweise wegen vergessener Klammen so gemeint) im Nenner des zweiten Bruchs, haben mich dabei zunächst gar nicht interessiert. Vielmehr habe ich versucht, mir selbst Formeln zur Berechnung sowohl des Offsets als auch der benötigten Fangspiegelgröße (kleine Achse) geometrisch herzuleiten. Schon nach zwei Gläsern meines Rotweins hatte ich meine Formeln fertig, und so konnte ich endlich mal etwas früher (und wie immer noch nüchtern) zu Bett gehen.
Ich bin dabei zu Formeln gekommen, die etwas anders und nur geringfügig komplizierter sind als die von Dir aus Dr. Stricklings Website zitierten, für die es dort heißt:
Nach Suiter berechnet man den Versatz näherungsweise nach folgender Formel:
Versatz = T / (4F2) + L / (4F) (1 - 2T/f)
Der Durchmesser MA der kleinen Fangspiegelachse ist auch angegeben als:
MA = L + T (D - L) / f
Dr. Strickling beruft sich also wiederum auf Suiter, doch das kann ich nicht weiterverfolgen, weil ich dessen hier im Forum schon oft zitiertes Buch nicht kenne und nicht besitze. Mir fällt im obigen Zitat zunächst auf, daß es eine
näherungsweise Berechnung sei. Das finde ich nicht gut, wenn es möglich ist, mit einer nicht wesentlich komplizierteren Formel eine
genaue Berechnung durchzuführen. Näherungsformeln sollten solchen Fällen vorbehalten bleiben, deren genaue Berechnung zu schwierig oder zu langwierig ist oder die zusätzliche Parameter erfordern, die keinen nennenswerten Einfluß auf das Ergebnis haben.
1. Ich habe nun heute früh meine gestrigen Formel-Herleitungen nochmals kurz überflogen, keinen Fehler gefunden (was aber nicht ausschließ, daß sie noch Fehler enthalten) und dann nach diesen Formeln den Offset und die Fangspiegelgröße für die Werte berechnet, die Du in Deinem ersten Beitrag als Beispiel angegeben hast. Da ich die von Dr. Strickling als Abkürzung für die relevanten Größen benutzten Buchstaben für etwas unglücklich gewählt halte, gebe ich diese Zahlenwerte hier nochmals, aber mit den von mir benutzten Buchstaben an:
Brennweite f = 1400 mm
Hauptspiegel-Ø d = 150 mm —> bei Dir „D”
Höhe der Fokusebene über der Tubus- bzw. Spiegelachse h = 150 mm —> bei Dir „T”
voll ausgeleuchteter Bildfeld-Ø b = 20 mm —> bei Dir „L”
Nach meinen eigenen Formeln errechne ich für dieses Teleskop folgende mit meinem Namenskürzel WS gekennzeichnete
genaue Werte
Offset (WS) = 0,789329049 mm
kleine Fangspiegelachse (WS) = 34,22366323 mm
2. Nun habe ich nach beiden Varianten der Dr.-Strickling-Formel den Offset (1) bzw. Offset (2) und mit der anderen seiner Formeln die Fangspiegelgröße als
Näherungswerte wie folgt ausgerechnet:
Offset (Str. 1) = 0,851403061 mm
Offset (Str. 2) = 1,112302876 mm
kleine Fangspiegelachse (Str.) = 33,92857143 mm
3. Dann habe ich meinen alten Mac mit OS 9.1 gestartet, auf dem ich die Windows-Emulation Virtual PC habe (für den neuen G5-Mac mit OS 10.3.4 besitze ich leider keine Windows-Emulation), und das Programm NEWT benutzt, um damit den Offset auszurechnen. NEWT hat aber den Nachteil, daß es nicht die optimale Fangspiegelgröße für eine angegebene voll ausgeleuchtete Bildgröße liefert. Also muß man sich in einem iterativen Prozeß nach dem Prinzip von Versuch und Irrtum durch Eingabe geeignet erscheinender Fangspiegelgrößen langsam an den gewünschten Bildfelddurchmesser heran arbeiten.
Ich habe bei Eingabe Deiner Beispielparameter festgestellt, daß ich bei Annahme eines Fangspiegels von 34 mm dem Wunschziel von 20 mm voll ausgeleuchtetem Bildfelddurchmesser am nächsten komme (bei 34 mm Fangspiegelgröße ermittelt NEWT ein 100%ig Bildfeld von 20,079 mm Durchmesser). Weil NEWT für die Fangspiegelgröße nur ganze Millimeter annimmt, ist keine genauere Berechnung möglich. Sie reicht aber für die Praxis aus. Nun erhalte ich mit diesen Eingaben folgende NEWT-Ergebnisse:
Offset (NEWT) = 0,9107 mm
kleine Fangspiegelachse (NEWT) = 34 mm —> Eingabewert für Ergebnis b = 20,079 mm
Da sich hierbei ein minimal größeres Bildfeld als 20 mm ergab, darf für genau 20 mm die Fangspiegelachse minimal kleiner als 34 mm sein; man käme also praktisch aufs gleiche Ergebnis wie mit Dr. Stricklings Formel.
4. Nun versuche ich mal ein vorläufiges Fazit zu ziehen. Obwohl ich zu anderen Ergebnissen komme als NEWT, legen meine Offsetberechnung und die von NEWT nahe, daß die 1. Variante der Dr.-Strickling- bzw. Suiter-Formel die bessere Interpretation der Näherungsformel ist. Leider gibt NEWT nicht an, was für Formeln dort benutzt werden - es wäre interessant. Es scheint mir aber so, also würde NEWT zumindest für den Zusammenhang von Bildfeldgröße und Fangspiegelgröße dieselbe Näherungsformel wie Dr. Strickling bzw. Suiter verwenden. Für den Offset gilt das aber wohl nicht.
Nun bin ich in ein gewisses Dilemma geraten. Einerseits ließen sich die Abweichungen zwischen den Ergebnissen meiner Formeln und denen nach den Formeln von Dr. Strickling bzw. Suiter durchaus damit erklären, daß meine Formeln exakte Formeln sind und die anderen – wie ja von Dr. Strickling ausdrücklich eingeräumt – nur Näherungsformeln. Andererseits kann ich mir nicht vorstellen, daß vor mir noch niemand in der Lage gewesen sein sollte, für beide Berechnungen (Offset und Fangspiegelgröße)
exakte Formeln herzuleiten, die nicht viel komplizierter sind als die offensichtlich an vielen Stellen im Internet veröffentlichten und benutzten Näherungsfomeln.
Ich rufe also alle, die mt der eigentlich relativ simplen Geometrie (auf Gymnasium-Mittelstufenniveau) vertraut sind (es sollten doch noch ein paar andere Mathematiker, Physiker, Dipl.-Ings. usw. hier im Forum sein!?), hiermit auf, doch auch mal zu versuchen, für Offset und Fangspiegelgröße exakte Formeln herzuleiten. Ich bin gespannt, ob es Ergebnisse geben wird, die mit meinen übereinstimmen oder nicht. Obwohl ich bisher in meinen Berechnungen keinen Fehler sehe, will ich momentan noch nicht behaupten, daß sie wirklich korrekt sind - nobody is perfect.
5. An Christian gerichtet ist jetzt noch folgende Erklärung: Du fragst, warum man auch eine Formel für „verschwindend kleine Bildfelder” überhaupt angibt, und Du fragst, ob die vielleicht genauer sind.
Es ist Dir sicher klar, daß für ein größeres voll (d.h. mit 100% Heligkeit) ausgeleuchtetes Bildfeld ein größerer Fangspiegel nötig ist. Ein größerer Fangspiegel erfordert aber einen anderen Offset. Also muß eine exakte oder brauchbare näherungsweise Formel je nach zugrundgelegter 100%-Bildfeldgröße unterschiedliche Offsets liefern.
Wegen der Wechselwirkung zwischen 100%-Bildfeldgröße und Fangspiegelgröße kann man leider nicht beide optimieren: Man hätte einerseits gern ein möglichst großes unvignettiertes Bildfeld (was zu einem großen Fangspiegel führt), aber andererseits einen möglichst kleinen Fangspiegel, damit möglichst kleine Obstruktion möglichst wenig Beugungsunschäfe verursacht (ober dann wird wieder das 100%-Bildfeld klein). Welchem dieser beiden Optimierungsparameter man nun Priorität einräumt, hängt von der Anwednung ab: Wer fotografiert, braucht große unvignettierte Bildfelder, und zwar um so mehr, je größer das Aufnahmeformat ist. Die begrenzte Auflösung sowohl des chemischen Films als auch digitaler Sensoren läßt es glücklicherweise zu, dann mit einer etwas geringeren Auflösung zu leben. Andererseits möchte, wer Planetendetails oder Doppelsterne beobachtet, die bestmögliche Auflösung haben, die eine kleine Obstruktion, also eine kleine Fangspiegelgröße voraussetzt. Die Folge ist, daß sich mit so einem Minimal-Fangspiegel der Durchmesser des zu 100% ausgeleuchteten Bildfeldes verkleinert, Im Extremfall auf null, also auf das nämliche „verschwindend kleine Bildfeld”.
6. Bevor ich mich nun verabschiede, will ich all die Neugierigen, die sich bisher fragten, warum denn der gemeine Hund zwar Ergebnisse nennt, aber seine Formeln nicht preisgibt, zufriedenstellen. Die von mir gestern Nacht bei Rotwein abgeleiteten Formeln lauten unter der Verwendung der weiter oben angegebenen Buchstabenkürzel:
Offset (WS) = (d - b) · [(d - b) · h + f · b] / [4 fˆ2 - (d - b)ˆ2]
kleine Fangspiegelachse (WS) = f · [h · d - h · b + f · b] / [fˆ2 – (d - b)ˆ2]
Ich habe mit diesen und den Dr.-Strickling-Formeln noch ein weiteres Beispiel für einen Newton mit höher Öffnung und weiter Fokuslage ausgerechnet, um zu deutlicheren Unterschieden in den Ergebnissen zu kommen. Meine angenommenen Newton-Daten sind
f = 800 mm
d = 200 mm
h = 150 mm
b= 20 mm
Meine Formeln liefern diese Ergebnisse:
Offset (WS) = 3,062193385 mm
kleine Fangspiegelachse (WS) = 56,61619487
Dr. Striklings Formeln liefern (Str. 1 = fraglicher Term im Zähler, Str. 2 = Term im Nenner):
Offset (Str.1) = 3,124 mm
Offset (Str. 2) = 4,34375 mm
kleine Fangspiegelachse (Str.) = 53,75 mm
NEWT liefert bei Eingabe einer kleinen Fangspiegelachse von 56 mm ein 100%-Bildfeld von genau 20 mm Durchmesser und dabei dann einen Offset von genau 3,5 mm, also:
Offset (NEWT) = 3,5 mm
kleine Fangspiegelachse (NEWT) = 56 mm
Also bleiben auch hier zwischen allen drei Methoden (meine Formel, Dr. Stricklings Formel und NEWT) noch deutliche Unterschiede. Auf die berechtigte Frage, welche Formeln denn nun stimmen, erlaube ich mir zumindest so lange, bis es irgendjemand widerlegt hat, die Arroganz zu sagen, daß es meine Formeln sind. Ich bin auf die Fortsetzung dieser Diskussion sehr gespannt.
MfG Walter E. Schön
weltweit relativ einmütig