Hallo Sabine,
die visuelle Grenzgröße hängt von vielen Faktoren ab, dazu gehört nicht nur die Öffnung der Optik und die vorherrschende Himmelsqualität, sondern auch die Vergrößerung. Eine "universelle" Formel, welche alle möglichen Parameter in einer einzigen Formel erfasst, gibt es wohl nicht.
Man kann aber den Effekt einzelner Parameter untersuchen, indem man die übrigen Parameter ausschaltet oder fixiert, und so zu relativ einfachen und übersichtlichen Skalierungsgesetzen kommen.
(1) Wenn Du z.B. den Lichtgewinn von einem 7 x 50 Fernglas gegenüber einem dunkeladaptierten unbewaffneten Auge berücksichtigst, bekommst Du folgende Formel:
Pupillenöffnung = 7 mm
Lichtgewinn = (50mm/7mm)² ~ 51
Gewinn an Größenklassen = Delta m ~ 2.5 log 51 ~ + 4.3
Grenzgröße = f_st + Delta m
wobei f_st ("faintest star") die Grenzgröße des unbewaffneten Auges für eine bestimmte Himmelsqualität ist.
Für einen guten Himmel mit f_st = 6 erhält man dann eine Grenzgröße von: 6 + 4.3 = 10.3, und für einen weniger guten Himmel mit f_st = 5, eine Grenzgröße von: 5 + 4.3 = 9.3. Bei dieser stark vereinfachten Betrachtung sind Lichtverluste in der Optik vernachlässigt worden. Die so ermittelten Grenzgrößen sind also obere Limits.
Die eben betrachtete Situation mit einem 7 x 50 "Nachtglas" beschreibt den Extremfall der minimal sinnvollen Vergrößerung, wobei die Austrittspupille der Optik mit 7 mm die maximale Öffnung der Augenpupille ausfüllt.
(2) Das andere Extrem ist der Fall der maximal sinnvollen Vergrößerung, hierbei erreicht das Beugungsscheibchen eines Sterns eine Winkelgröße von ca. 3', welche vom Auge schon als nicht mehr punktförmig wahrgenommen wird. Da die Flächenhelligkeit des Himmelshintergrunds mit zunehmender Vergrößerung quadratisch abnimmt, ergibt sich für Sterne vor diesem reduzierten Hintergrund ein Kontrastbonus. (Man kann auf diese Weise mit einem Teleskop sogar tagsüber hellere Sterne sehen.)
Beim Vergleich zwischen einem 7 x 50 und einem 20 x 80 Glas ergibt sich also einmal ein Lichtsammelbonus von (80/50)² = 2.56 und weiterhin ein Kontrastbonus von (20/7)² = 8.16. Die korrekte Berücksichtigung dieser und anderer Effekte führt schnell zu einem unübersichtlichen Formelwust, siehe z.B.
B.E. Schaefer: Telescopic Limiting Magnitudes
Es gibt aber auch praktische Werkzeuge wie den
Telescope Limiting Magnitude Calculator
wo man nicht nur Apertur und Vergrößerung, sondern viele andere Parameter eingeben kann.
Für den konkreten Fall von 7 x 50 und 20 x 80 ergeben sich dann folgende Resultate für die erwartete Grenzgröße:
7 x 50 ............. Grenzgröße = 9.8
20 x 80 ........... Grenzgröße = 11.7
Für die übrigen hier nicht explizit aufgeführten Parameter wurden die Standardannahmen (defaults) angenommen, z.B. f_st = 6.0 mag und 6 mm Pupillenöffnung. Du kannst natürlich stattdessen die für Dich zutreffenden Werte einsetzen.
Ich hoffe, das hilft Dir weiter.
Mit freundlichen Grüßen,
Peter
