Hallo manfred35,
es hat ein paar Tage gedauert, bis ich mich durch alle Wirrungen der Sache durchgearbeitet habe. Nun also:
Die Formeln, die du aus SuW übernommen hast, sind so, wie sie da standen, noch etwas korrekturbedurftig: Da mußt Du überall l durch l-l0 ersetzen. Das hat Thomas in seiner Antwort auch sinngemaß gemacht, indem er überall RA-RA0 verwendet hat.
Deine Projektion ist nach Deiner Pascal-Prozedur aber nicht gnomisch, sondern stereographisch. Verständlicher ausgedrückt: Die Formeln beschreiben eine Zentralprojektion der Kugeloberfläche auf eine Ebene, welche die Kugel im Punkt l0, b0 berührt. Das Zentrum liegt dabei um d Kugelradien vom Kugelmittelpunkt entfernt (oder d+1 Radien vom Berührpunkt der Projektionsbene). Bei d=0 ist das Projektionszentrum im Kugelmittelpunkt. Dann hast Du eine gnomische Projektion. Du verwendest aber d=1 als Konstante. Dann ist das Projektionszentrum gerade auf der anderen Kugelseite, bei den Antipoden. Das ist für Übersichtssternkarten sinnvoll, weil Du mit d=0 den Horizont im Unendlichen hast.
Die Formeln, die Thomas Dir als Original vorschlägt, sind aber gerade ein Spezialfall Deiner Formeln, nämlich der Sonderfall d=0. Der Faktor c, der dort auftaucht, hat damit nichts zu tun. Er sorgt lediglich für die lineare Vergrößerung oder Verkleinerung der ganzen Karte. Und dann ist in Thomas' Formeln auch noch x und y gegenüber Deinen Formeln vertauscht. Das führt dazu, daß der Polarstern rechts vom Zentrum liegt (setze bei Thomas einmal dec=90° ein).
Andererseits spielt es bei Himmelskarten auch eine Rolle, daß man den Himmel von innen projiziert, während man sich die Erde auf Landkarten von draußen ansieht. Sie sind also spiegelbildlich zueinander. Die Projektion liefert Dir die sichtbare Himmelshalbkugel als Kreis, den Zenit im Zentrum. Wahrscheinlich arbeitest Du mit Karten, die wie üblich dargestellt sind (Norden oben, Westen rechts). Wenn Du in die SuW-Formeln einmal die Koordinaten des Westpunktes am Horizont einsetzt (b=0, l=-90°: Wohlgemerkt: Minus, denn was im Westen untergeht, hat eine kleinere Rektaszension als das, was gerade im Süden steht), dann bekommst Du x=-(d+1)/d, y=0. Westen ist hier also links (wegen x<0) ; die Formeln sind tatsächlich für Landkarten passend, aber für Himmelskarten braucht das x ein anderes Vorzeichen. Bei Thomas' Formeln kann man den Westpunkt nicht einsetzen, weil die Projektion aus der Kugelmitte sein Bild ins unendliche legt, aber sie enthalten auf den ersten Blick denselben Fehler, wie man durch direkten Vergleich sehen kann. Allerdings wirkt die Vertauschung von x und y auch spiegelnd, so daß das Kartenbild zwar seitenrichtig wird, aber wie erwähnt mit dem Nordpol rechts vom Zentrum. Da müsste man eine 90° Drehung nach links vornehmen, um zum gewohnten Bild zu kommen, und das heißt nichts anderes als: Mache x zu y und y zu -x. Und dann hast Du das selbe Ergebnis, als wenn Du bei den SuW-Formeln bei x das Vorzeichen wechselst.
Also kurz zusammengefasst: Bei SuW l durch l-l0 ersetzen und x mit einem Minuszeichen versehen. Oder: Bei Thomas das (d+1)* im Zähler und das d+ im Nenner wieder einführen und um 90° nach links drehen. Dann hast Du Formeln, die Dir auch wirklich eine Sternkarte liefern, wie Du sie gewöhnt bist.
Das erst mal zur Aufklärung der Wirrungen.
Nun zu Deiner eigentlichen Frage: Wie kehrt man die Formeln um? Die Herleitung ist etwas länglich, daher hier nur die Ergebnisse:
Setze N=x²+y²+(1+d)² und W=Wurzel(d²*(1+d)²-N*(d²-1).
Dann ist
sin b= ((W*(1+d)-d*(x²+y²))*sin b0+(d*(1+d)+W)*y*cos b0)/N
und
tan (l-l0)=(d*(1+d)+W)*x/((d*(1+d)+W)*y*sin b0-(d*(x²+y²)-W*(1+d))*cos b0)
Die von Thomas angegebenen Umkehrformeln werden daraus, wenn Du d=0 setzt und x und y vertauscht. Allerdings musst Du dazu dann noch ein bisschen rechnen, weil er tan b und nicht sin b angibt.
Natürlich kannst Du die Rundungen aufs Pixelmaß, die Deine Prozedur enthält nicht wieder zurückrechnen. Und wenn Du aus den Mauskoordinaten auf diese Weise b und l-l0 bekommst, dann musst Du an l anschließend noch eine Korrektur anbringen: Und zwar musst Du die Sternzeit, für welche die verwendete Karte gilt noch dazuaddieren, wenn Du die Rektaszension haben willst.
Gruß, mike
