Faustfomel ist mit 17,5 etwas genauer
1. Faustformel
Wenn der tatsächliche Sehwinkel nicht zu groß ist (also nicht größer als bei üblichen Ferngläsern), unterscheidet sich der Tangens (= Winkelfunktion) nur sehr wenig vom Winkel selbst, wenn man diesen nicht in Grad, sondern im Bogenmaß mißt (zur Erinnerung: Vollkreis hat 360° im Gradmaß oder 2·pi im Bogenmaß). Man macht also nur einen sehr kleinen Fehler, wenn man den Tangens durch den im Bogenmaß ausgedrückten Winkel ersetzt. Da wir üblicherweise aber Winkel im Gradmaß angeben, kommt ein Umrechnungsfaktor ins Spiel: Wenn der …
Winkel 2·pi [Bogenmaß] = 360° [Gradmaß], dann ist der …
Winkel 1 [Bogenmaß] = 360°/(2·pi) = 360°/2·3,14159265 = 360°/6,2831853 = 57,2957795°
Daraus folgt, daß umgekehrt der …
Winkel 1° [Gradmaß] = 1°/57,2957795° [Bogenmaß] = 0,01745329
Weil wir nun das tatsächliche Sehfeld nicht in Meter auf 1 m Entfernung, sondern auf 1000 m Entfernung angeben, müssen wir den soeben errechneten Umrechnungsfaktor noch mit 1000 multiplizieren müssen, so daß gilt …
Umrechnungsfaktor für den Winkel [Gradmaß] bei Sehfeldangabe auf 1000 m beträgt 17,45328
Fürs schnelle Rechnen ist also der Faktor 17,5 ein wenig genauer als 17,4, zumal das alles ja nur eine Näherungsrechnung ist, die bei größeren Winkel immer mehr vom richtigen Wert abweicht, weil unsere allererste Annahme nur für kleine Winkel gilt. Wenn wir für ein 200 m großes Sehfeld auf 1000 m, das schon größer als das üblicher Ferngläser mit Vergrößerungen ab 7fach ist, einmal genau rechnen, ergibt sich
tatsächl. Sehwinkel alpha = 2 · arc tan (200 m/2 : 1000 m) = 2 · arc tan 0,1 = 2 · 5,7106° = 11,4212°
Das würde einem Umrechnungsfaktor vom 200 m : 11,4212 = 17,5113 entsprechen. Man sieht also, daß der Umrechnungsfaktor in dem für Ferngläser relevanten Sehwinkelbereich zwischen ca. 17,45 und 15,51 liegt, so daß man tatsächlich mit 17,5 am genauesten rechnet.
2. Grenzhelligkeit
Bei der Ermittlung der Grenzhelligkeit spielen viel mehr Einflüsse eine Rolle, als man allgemein annimmt, was die Herleitung einer zuverlässigen Formel umständlich macht. Es gibt im Internet einige sehr schöne Darstellungen der Problematik, die aber zumindest ein bißchen mathematisches Verständnis (z.B. des „Logarithus”) und ausreichende Englischkenntnisse erfordern. Leider habe ich keine Internetadresse parat und auch nicht die Zeit, jetzt danach zu suchen, aber mit folgenden Stichwörtern, deren deutsche Bedeutung ich in Klammern angebe, müßte man mit Google halbwegs zielgenau fündig werden (notfalls alle Fundstellen schnell überfliegen):
faintest star (schwächster sichtbarer Stern)
limiting magnitude (Grenzgröße)
binoculars (Fernglas)
diameter (Durchmesser)
magnification (Vergrößerung)
3. Auflösungsvermögen von Ferngläsern
Es ist durchaus sinnvoll, das Auflösungsvermögens mit den üblichen auf Beugungsbegrenzung basierenden Formeln bei Teleskopen zu benutzen. Aber fast immer wird dort übersehen, daß gerade bei geringster Helligkeit wegen der dann erfolgenden Zusammenschaltung der Stäbchen in der Netzhaut, also einer Art „Binning”, das Auflösungsvermögen des Auges etwa auf 1/3 bis 1/5 sinkt. Das hat zur Folge, daß man in der Regel praktisch meistens die doppelte Vergrößerung braucht, als man durch die Berechnung findet, um diesem rechnerischen Auflösungsvermögen tatsächlich nahe zu können.
Nun haben aber Ferngläser relativ zu ihrer Öffnung (im Vergleich zu Teleskopen) eine sehr kleine Vergrößerung, so daß man selbst ohne Beachtung des eben von mir angeführten „Binning”-Effekts (der nur bei Nacht wirksam ist) gar nicht bis zur Auflösungsgrenze kommt. Es hat deshalb keinen Sinn, das Auflösungsvermögen von Ferngläsern in der Hoffnung auf praktischen Nutzen auf diese Weise zu berechnen.
Außerdem wäre das auch nur fürs Bildzentrum relevant, aber selbst sehr gute Ferngläser fallen außermittig wegen des (wieder im Vergleich zu Teleskopen) sehr großen tatsächlichen Sehwinkels aufgrund ihrer diversen Aberrationen (Abbildungsfehler) schnell im Auflösungsvermögen ab, selbst wenn das (wegen der zu geringen Vergrößerung) dem Betrachterauge nicht auffällt.
Ich gebe deshalb bewußt keine Formel an, weil die bestenfalls für reine Theoretiker oder Optikentwickler von Interesse wäre und mit der Praxis der Fenglasbeobachtung so gut wie nichts zu tun hat. Sie würde also nur falsche Vorstellungen wecken (deshalb Finger weg davon).
Walter E. Schön
