Herleitung Formel der Grenzmagnitude

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aitutaki

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Hallo an alle,
ich würde gerne die Formel für die Grenzmagnitude herleiten. Ich habe dadran jetzt schon einige Zeit verschwendet und komm einfach nicht weiter, bzw hab immer einen Vorzeichenfehler.
Diese Formel soll ich herleiten:
m(Grenze) = 6,5 + 5*log D (wobei D die Fernrohröffnung in cm ist). Ich weiß dass ein Mensch mit bloßem Auge bis zur Magnitude 6,0 sieht und der Augendurchmesser im Durchschnitt 8,0 mm ist.
Ich weiß auch noch dass die empfangene Lichtstärke proportional zur Öffnung ist: also proportional zu D^2.
Doch wie hängt die empfangene Lichtstärke mit den Magnituden zusammen?
Hab erst gedacht ich leite es über die Beleuchtungsstärken her:
m1-m2=-2,5log(E1/E2) da Lichtstärke proportional zum Durchmesser:
m1 = m2 - 2,5log(D^2/d^2), wobei d = durchmesser auge
m1 = m2 - 5log(D/d) noch weng die logarithmusregeln angewandt:
m1 = m2 + 5*log d - 5*log D
m1 soll die grenzmagnitude sein und m2 die magnitude die noch mit dem auge sichtbar ist.
m(grenze)=6,0 + 0,5* log 0,8 cm -5*log D
m(grenze)=6,5-5*log D

Das wäre meine Herleitung, aber das Minus ist falsch, also bin ich wahrscheinlich komplett falsch rangegangen.

Wäre schön wenn mir jemand helfen würde.
:)
 
Zuletzt von einem Moderator bearbeitet:
Hey Micha, danke für die Antwort, doch die Seite hatte ich auch schon betrachtet. Für mich fällt da die Formel
mInstr = mAuge + 2,5 mag · 2 · lg(D /d)
völlig vom Himmel. es steht zwar da, dass das aus der Definitionsgleichung der Größenklassen kommt, aber dazu finde ich auch nichts. Für mich war der Zusammenhang zwischen Magnituden und Fluss oder Beleuchtungsstäre immer noch mit nem Minus...
m1 = m2 - 2,5*log (F1/F2)
und die Formel in Wikipedia hat ja eben da ein Plus... vll kann man die Formel gar nicht so richtig herleiten?

Danke trotzdem für die Hilfe
lg marina :)
 
Moin Marina!

> m1 = m2 - 2,5*log (F1/F2)

Ja, dröseln wir das mal auf...

In der Normalform heißt die Formel:

m1 - m2 = -2,5*log(F1/F2)

das heißt, wenn Stern F1 mit 5 Einheiten strahlt und F2 mit 1 Einheit - ersterer Stern wäre also 5mal heller - dann folgt

m1 - m2 = -2,5 * 0,7 = -1,75 mag

somit ist Stern m1 => (m2 - 1,75) mag hell.

(5mal mehr an Helligkeit bedeuten also eine 1,75 mag kleinere (!) Magnitude)

Jetzt kommt aber der Trick an der Sache: Kleinere Zahlen bedeuten hier aber hellere Objekte. Ein Stern mit +4 mag ist heller als einer mit +5 mag!

So sieht es bei den verschiedenen Eintrittsöffnungen aus: Hier sammelt die größere Fläche (Instrument) logischerweise mehr Licht als die kleinere (Auge). Man sagt auch, man vergleicht hier die sogenannten "Eintrittspupillen". Beim Auge sind das meinetwegen 7 mm, beim Teleskop bspw. 70 mm.

Dann ist das Verhältnis hier ganz einfach

70x70 zu 7x7
oder
4900 zu 49
oder
100 zu 1 (entspricht: 100/1)

So, um nun aus diesem Lichtgewinn um den Faktor 100 die Zunahme (!) an Größenklassen zu berechnen, schreibt man nun

m2 - m1 = 2,512 * log(H1/H2)

(umgestellt wird daraus übrigens
-m1 = 2,512 * log(H1/H2) - m2
oder
m1 = -2,512*log(H1/H2) + m2
oder
m1 - m2 = -2,512 * log(H1/H2) ... ;) )

m2 ist hier die Grenzgröße des Instruments
m1 die Grenzgröße des Auges (+6 mag)

Setzen wir für (H1/H2) die 100 von oben ein, ergeben sich

m2 - 6 mag = 2,512 * 2
oder
m2 = 5,024 + 6 = +11,0 mag

Also kann das Teleskop (lichtschwächere) Sterne bis +11,0 mag zeigen, während das Auge nur (hellere) Sterne bis +6 mag schafft.

Wie schon geschrieben: Im Wiki-Artikel ist dann noch die Vereinfachung beschrieben und es werden andere Einheiten als in Deinem Beispiel oben benutzt.

Anmerkung: Das sind hier natürlich nur rein geometrische Rechenspielchen. Die wahre Grenzhelligkeit in einem Teleskop ändert sich auch noch über die eingesetzte Vergrößerung bzw. die sogenannte "Austrittspupille", und dann hängt es auch noch davon ab, ob man flächige (Galaxien, Gasnebel) oder punktförmige Objekte (Sterne) beobachtet.
 
Zitat von aitutaki:
Diese Formel soll ich herleiten:
m(Grenze) = 6,5 + 5*log D (wobei D die Fernrohröffnung in cm ist). Ich weiß dass ein Mensch mit bloßem Auge bis zur Magnitude 6,0 sieht und der Augendurchmesser im Durchschnitt 8,0 mm ist.
Klicke in dieses Feld, um es in vollständiger Größe anzuzeigen.
Hallo Aitutaki,

ich nehme mal an, das ist eine Hausaufgabe in einem Astronomie-Kurs oder so ähnlich?

(1) Die Form der vorgegebenen Formel ist insofern etwas ungewöhnlich, als man meistens das Verhältnis von Teleskopöffnung zur Größe der dunkeladaptierten Pupille direkt in der Formel belässt. Das sieht dann etwa so aus

m_g = m_0 + 5 log D/d .......................... (1)

wobei

m_g = Grenzgröße mit Teleskop
m_0 = Grenzgröße mit bloßem Auge
D = Teleskopöffnung
d = Pupillenöffnung

Dabei ist es beim Verhältnis D/d wichtig, für D und d jeweils dieselben Einheiten zu wählen, also entweder für beide Millimeter oder Zentimeter, aber nichts gemischtes!

Wenn man in dieser Formel D = d setzt, dann sollte die Grenzgröße für das bloße Auge herauskommen, also m_g = m_0, und das stimmt auch weil

5 log D/d = 5 log 1 = 5 * 0 = 0

(2) Wie kann man jetzt den Zusammenhang zwischen der eben beschriebenen Standardform und Deiner etwas ungewöhnlichen Form

m_g = 6,5 + 5 log D [cm] ........................ (2)

verstehen?

Wir setzen mal die rechten Seiten der beiden Formulierungen gleich

m_0 + 5 log D/d = 6,5 + 5 log D [cm]

Daraus folgt dann

m_0 = 6,5 + 5 log D [cm] - 5 log D/d

Den letzten Term können wir unter Berücksichtigung der Rechenregeln für den Logarithmus noch umformen

5 log D/d = 5 log D [cm] - 5 log d [cm]

und wenn wir das oben einsetzen, dann fällt einiges weg und es ergibt sich ein Zusammenhang zwischen der Pupillenöffnung "d" und der Grenzgröße "m_0" mit dem bloßen Auge:

m_0 = 6,5 + 5 log d [cm]

Setzen wie mal ein paar mögliche Werte für die Pupillenöffnung "d" ein:

.. d ............. m_0
[cm]

0,50 .......... 4,995
0,55 .......... 5,202
0,60 .......... 5,391
0,65 .......... 5,565
0,70 .......... 5,725
0,75 .......... 5,875
0,80 .......... 6,015

Das bedeutet also, dass in der Formulierung von Gleichung (2) z.B. mit einer Pupillenöffnung von 0,80 cm oder 8 mm eine Grenzgröße von m_0 = 6,015 mit dem bloßen Auge erreicht wird. Oder mit einer Pupillenöffnung von 0,7 cm = 7 mm, welches mehr der üblichen Konvention entsprechen würde, ergibt diese Formel eine Grenzgröße mit dem bloßen Auge von 5,725.

Damit ist jedenfalls der Zusammenhang zwischen den Formeln (1) und (2) hergestellt. Die Gleichung (1) ist allgemeiner indem sie nicht von vornherein eine bestimmte Grenzgröße für das bloße Auge festlegt. Sie ist in dieser Form auch nützlicher und allgemein bekannt, siehe z.B. hier

Darüber hinaus sollte man wohl noch anmerken, dass die teleskopische visuelle Grenzgröße nicht nur mit der Lichtsammlung, sondern insbesondere auch mit der Vergrößerung anwächst. Das liegt daran, dass die Helligkeit des Himmelsuntergrundes mit zunehmender Vergrößerung reduziert wird, so dass schwache Sterne sich bei höherer Vergrößerung besser von diesem Hintergrund abheben. Man kann mit dieser Methode sogar am Tage hellere Sterne im Teleskop beobachten! Wenn man diese Effekte in einer allgemeinen Formel berücksichtigen möchte, wird es sehr kompliziert. Wir hatten darüber hier auch schon mal eine Diskussion.

Mit freundlichen Grüßen,
Peter

 
Hey danke Micha und Peter für die ausführlichen Antworten.
@Peter: ist eine Vorbereitungsaufgabe für ein Praktikum in einer Sternwarte (freu mich schon drauf :))

Mein Problem war der Dreher im Logarithmus, aber ist jetzt gelöst:) (im Nachhinein wirklich logisch)

Ich glaube ihr werdet noch öfter von mir hören;)
lg marina

 
Hallo,

ich versuche schon seit längerem diese Aufgabe zu lösen, verstehe sie aber auch trotz eurer Antworten nicht.
Ich denke ich habe das gleiche Verständnisproblem wie Marina am Anfang, denn auch bei mir ist immer ein Vorzeichenfehler mit drin :/

Soweit bin ich bis jetzt gekommen:

m1 - m2 = -2.5 * log(F1/F2)

Jetzt habe ich mir weiter gedacht, dass der Fluss direkt proportional zu der empfangenen Lichtsärke L ist. Also:

m1 - m2 = -2.5 * log(F1/F2) = -2.5 * log(L1/L2)

Weiterhin ist L direkt proportional zu D^2:

m1 - m2 = -2.5 * log(F1/F2) = -2.5 * log(L1/L2) = -2.5 * log((D1/D2)^2)

Durch Umformungen kommt man deshalb auf:

m1 - m2 = -2.5 * log((D1/D2)^2)

=-5 * log(D1/D2) = -5 * log(D1) + 5 * log(D2)

==> m1 - m2 = -5 * log(D1) + 5 * log(D2)

Sei jetzt m1 die Magnitude, die gerade noch mit dem Auge erkennbar ist, also m1=6.0 mag und m2=m_Grenze die Grenzmagnitude des Teleskops. Analog ist D1 der Durchmesser des Auges: D1=0.8 (in cm) und D2=D die Fernrohröffnung.
Also gilt:

6.0 mag - m_Grenze = -5 * log(0.8) + 5 * log(D)

==>

m_Grenze = 6.0 mag + 5 *log(0.8) - 5 * log(D)

m_Grenze = 5.5 mag - 5 * log(D)

Das stimmt natürlich nicht.... :/
Wo liegt denn mein Denkfehler? Ich hoffe ihr könnt mir helfen :)

lg,
teresa

 
Hallo Teresa,

(1) Die Scheinbare Helligkeit eines Sterns ergibt sich im Vergleich zu einem Referenzstern nach der folgenden Formel

Δm = m - m0 = -2.5 lg (Φ/Φ0)

dabei sind m und m0 die scheinbaren Helligkeiten von Stern und Referenzstern, Φ und Φ0 der Lichtfluss von Stern und Referenzstern, und "lg" bezeichnet den gewöhnlichen Logarithmus zur Basis "10".

Der Nullpunkt der Magnitudenskala wird ziemlich gut durch den bekannten Stern Wega in der Leier mit m0 ~ 0.0 markiert, aber das ist bei heutiger Präzision nur noch ungefähr korrekt und eher historisch.

Das negative Vorzeichen vor dem Logarithmus bedeutet schlicht und einfach, dass hellere Sterne als Wega eine negative Magnitude haben, also z.B. -0.72/-1.47 mag für Canopus/Sirius, -2.91/-2.94 mag für Mars/Jupiter und -4.9 mag für Venus (jeweils im Maximum).

Machen wir mal die Probe: welche Magnitude hätte dann ein Stern, welcher nur 1/100 des Lichtflusses von Wega hat? Nun, in dem Fall wäre Φ/Φ0 = 1/100, und lg (1/100) = -2. Mit m0 = 0.0 für Wega bekommen wir dann für den Stern

m = m0 - 2.5 lg (Φ/Φ0) = 0.0 - 2.5 * (-2) = + 5.0

wie zu erwarten, denn die Magnitudenskala ist ja historisch so definiert, dass ein Stern mit Magnitude "1" 100x heller ist als ein Stern mit Magnitude "6", welcher bei gutem Himmel mit bloßem Auge gerade noch sichtbar ist, und zwischen Magnitude "1" und "6" liegen gerade 5 Größenklassen.

Wohlgemerkt, das hat soweit noch gar nichts mit irgendwelchen Aperturen von Teleskop und Pupille zu tun.

(2) Lichtsammelnde Wirkung der Optik

Nach der eben durchgeführten Betrachtung würden wir erwarten, dass ein Teleskop mit der Zehnfachen Öffnung der Augenpupille (jedenfalls bei Vernachlässigung von geringfügigen Transmissionverlusten) hundertmal so viel registriert. Es sollte dann also in der Lage sein, Sterne mit einem Lichtfluss von nur 1/100 oder eben 5 Magnituden schwächer als mit bloßem Auge zu sehen. Diese Optik hätte dann also eine theoretische Grenzgröße von 6 + 5 = 11 mag.

Und wie sieht das nun formelmäßig aus? Die zahlreichen sich letztenendes aber gegenseitig aufhebenden negativen Vorzeichen können sehr verwirren. Hier ist eine korrekte Beschreibung der Grenzgröße, die ohne solche Vorzeichenakrobatik auskommt und sofort direkt verständlich ist:

m_D = m_d + 2.5 lg (Φ_D/Φ_d) = m_d + 5 lg (D/d)

dabei ist

m_D = Grenzgröße der Optik mit der Öffnung D
m_d = Grenzgröße des unbewaffneten Auges mit Pupillenöffnung d
Φ_D = Lichtfluss in der Optik
Φ_d = Lichtfluss in der unbewaffneten Pupille
D = Öffnung der Optik
d = Öffnung der unbewaffneten Pupille

Damit ergibt sich folgende Tabelle

D/d ....... Φ_D/Φ_d ....... m_D - m_d ......... m_D

1 ................ 1 .................. 0.0 ................ 6.0
5 ............... 25 ................. 3.5 ................ 9.5
6 ............... 36 ................. 3.9 ................ 9.9
7 ............... 49 ................. 4.2 .............. 10.2
8 ............... 64 ................ 4.5 ............... 10.5
9 ............... 81 ................ 4.8 ............... 10.8
10 ............. 100 ................ 5.0 ............... 11.0
15 ............. 225 ................ 5.9 ............... 11.9
20 ............. 400 ................ 6.5 ............... 12.5
25 ............. 625 ................ 7.0 ............... 13.0
30 ............. 900 ................ 7.4 ............... 13.4
40 ............ 1600 ................ 8.0 ............... 14.0
50 ............ 2500 ................ 8.5 ............... 14.5
60 ............ 3600 ................ 8.9 ............... 14.9

wobei für die Berechnung der teleskopischen Grenzgröße in der letzten Kolumne ein Wert von m_d = 6.0 mag für das unbewaffnete Auge eingesetzt wurde.

(3) Vergleich mit Deinem Formalismus

m1 - m2 = -2.5 * log(F1/F2) = -2.5 * log((D1/D2)^2) = -5 * log (D1/D2)

wobei

m1 = 6.0 mag = Grenzgröße des unbewaffneten Auges
m2 = gesuchte Grenzgröße der Optik
F1 = Lichtfluss ins unbewaffnete Auge
F2 = Lichtfluss in die Optik
D1 = Durchmesser der unbewaffneten Pupille
D2 = Durchmesser der Optik

daraus folgt

m2 = m1 + 5 * log (D1/D2)

das stimmt fast mit der korrekten Formel überein, jedoch steht in Deiner Formel der Kehrwert vom richtigen Argument D2/D1 im Logarithmus, du hast dort also die Öffnungen von Optik und unbewaffneter Pupille vertauscht. Der Effekt davon ist, dass der Logarithmus in Deiner Formel für D2 > D1 immer negativ ist, so dass die Grenzgröße mit zunehmender Öffnung D2 nicht zunimmt, sondern abnimmt!

Das Problem beginnt schon mit Deiner Ausgangsformel:

m1 - m2 = -2.5 * log(F1/F2) = -2.5 * log((D1/D2)^2) = -5 * log (D1/D2)

die müsste richtig nämlich heißen:

m2 - m1 = 2.5 * log(F2/F1) = 2.5 * log((D2/D1)^2) = 5 * log (D2/D1)

Ich hoffe, dass damit alle Unklarheiten beseitigt sind ...

Gruß, Peter



 
Hallo Teresa nochmal,

vermutlich grübelst Du jetzt über das entgegengesetzte Vorzeichen an dem Faktor ±2.5 vor dem Logarithmus, je nachdem ob die Formel

(1) die echte Magnitudendifferenz der scheinbaren Helligkeit zweier Sterne

oder

(2) den Grenzgrößengewinn infolge der optischen Lichtsammlung

beschreibt.

Im ersten Fall korrespondiert eine Zunahme der Lichtmenge mit einer Abnahme der Magnitude: hellere Sterne haben eine niedrigere Magnitude - deshalb das negative Vorzeichen am Logarithmus.

Im zweiten Fall wird die registrierte Lichtmenge von der Teleskopöffnung mitbestimmt: je größer der Lichtsammlungfaktor der Optik ist, desto schwächer können die Sterne sein, die man damit noch sehen kann. Die Grenzgröße erhöht sich also mit zunehmender Öffnung der Optik - deshalb das positive Vorzeichen am Logarithmus.

Man muss also aufpassen, dass man die Formeln zur Beschreibung der Scheinbaren Helligkeiten und der Grenzgrößen nicht durcheinander bringt. Formal sehen sie zwar sehr ähnlich aus und sie haben natürlich auch einen logischen Zusammenhang, sie sind aber nicht identisch. Man sollte sich in jedem Fall klarmachen, ob eine Formel qualitativ das richtige Verhalten zeigt.

Gruß, Peter

 
Hallo Peter :)

vielen Dank für deine sehr genauen und umfangreichen Erklärungen, es ist mir jetzt schon sehr viel klarer.
Klingt auch alles recht logisch, nur das alleine zu erarbeiten fällt mir recht schwer :/

lg,
teresa
 
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