Der Luftballon ist eine 2-Sphäre S^2. Der analoge 3-dimensionale Raum ist die 3-Sphäre S^3.
Wikipedia: Sphäre (Mathematik)
Wikipedia: 3-Sphäre
Typische Räume M, die man in kosmologischen Modellen betrachtet, sind
M = S^3 (geschlossenes, endliches Universum)
M = R^3 oder H^3 (offene und unendliche Universen).
Die 4d-Raumzeit ist dann
X = (0,+infty) x M
mit dem Zeitintervall (0,+infty) und dem Urknall zur Zeit t=0 (bei Big Crunch Modellen ist die rechte zeitliche Grenze ein Zeitpunkt T<+infty).
Der Raum M ist übrigens nicht zeitabhängig, sondern immer derselbe. Was von der Zeit t abhängig ist, ist die Metrik auf dem Raum M (mit der man Längen und Winkel von Vektoren und damit den Abstand zwischen Punkten berechnen kann). Die Metrik auf M ist die Einschränkung der Raumzeit-Metrik auf X.
Wikipedia: Friedman-Lemaitre-Robertson-Walker metric
Dass sich das Universum mit der Zeit ausdehnt, bedeutet, dass der Abstand zwischen zwei festen Punkten im Raum M von der Zeit t abhängt (und bei einer Ausdehnung mit der Zeit größer wird). Dass sich die Galaxien voneinander entfernen, kommt also nicht daher, dass sie durch den Raum fliegen, sondern (idealisiert) sind sie feste Punkte im Raum, deren Abstand zeitabhängig ist, wegen der Zeitabhängigkeit der Metrik auf M.
Wenn man in der Zeit zurückgeht, wird der Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten im Raum M immer kleiner bis er im Urknall 0 wird. Dadurch wird auch die Materiedichte im Urknall unendlich. Direkt nach dem Urknall war der gesamte Raum M schon vorhanden, nur war der Abstand zwischen den Punkten sehr klein. (Der Urknall selbst ist nicht Teil dieses klassischen Modells, deshalb enthält das Zeitintervall (0,+infty) nicht die 0.)
Durch die Zeitabhängigkeit der Metrik kann übrigens die Krümmung der
Raumzeit ungleich Null sein, selbst wenn die Krümmung des
Raums Null ist. Die Materie im Universum bestimmt die Krümmung der Raumzeit-Metrik durch die Einstein-Feldgleichungen.
Gewöhnliche Materie dünnt sich mit der Ausdehnung des Raums aus: Wenn sich das Volumen des Raums verdoppelt und dieselbe Masse an Materie enthält, wird die Massendichte (bzw. Energiedichte nach E=mc^2) halbiert.
Dunkle Energie ist besonders, da ihre Dichte immer gleich bleibt, selbst wenn sich das Volumen des Raums vergrößert. Deshalb ist die Dunkle Energie eine "Vakuumenergie".
Da sich die Dichte der gewöhnlichen Materie mit der Ausdehnung des Universums immer weiter ausdünnt und die Dichte der Dunklen Energie konstant bleibt, wird irgendwann die Dunkle Energie die dominierende Energieform.
Die Dichte der Dunklen Energie ist übrigens extrem klein (Hierarchieproblem der Dunklen Energie). Dass sie trotzdem ca. 70% der Gesamtenergie im Universum ausmacht, kommt daher, dass sie überall im Raum konstant ist, während die gewöhnliche Materie in den Galaxien konzentriert ist.
Viele Grüße
Mark