Auflösung

[guitarstar]

Mein erstes Posting - und gleich so ne komische Frage:

Gedankenversuch:

Einem Außerirdischen steht ein perfektes Teleskop zur Verfügung (Auflösung, Lichtstärke ...).

Bis zu welcher Entfernung könnte er (sie) z.B. einen Menschen auf der Erde beobachten? Wodurch wäre die Auflösung prinzipiell begrenzt, physikalisch, nicht technisch (z.B. Photonendichte, Heisenbergsche Unschärferelation).

Wäre nett, eure Meinung dazu zu hören. Vielleicht ist das ja ganz trivial?

 

[blue_scape]

Kommt auf die Öffnung an, würde ich sagen. Immerhin lassen sich mit dem LRO im Mondorbit endlich die Hinterlassenschaften der Apollo-Ära nachweisen, auch die Pfade der Astronauten sind auf einigen Aufnahmen zu sehen.

 

[guitarstar]

Mir geht es tatsächlich um die theoretische physikalische Begrenzung der Auflösung.
Etwa so: pro s werden x Photonen (Ursprung Sonne) vom Körper des Menschen in den Weltraum reflektiert. Wenn die Photonen auf kein Hindernis stoßen (dürfte kein Problem sein), setzen sie ihre Reise für sagen wir 10 Lichtjahre fort und werden dort von Außerirdischen empfangen. Natürlich sind sie nicht gebündelt und die Intensität nimmt ab. Reicht sie noch aus (z.B. integriert über 1 s), um noch ein bruchbares Bild zu erzeugen?
Ich meine die Frage ernst (ist für ein SF-Buch).
Vielleicht sollte ich versuchen, es auszurechnen.

 

[Ehemaliges Mitglied]

Moin Namenloser!

Ist Dein Wikipedia kaputt?
http://de.wikipedia.org/wiki/Auflösungsvermögen
http://en.wikipedia.org/wiki/Angular_resolution

...dann lies mal!

 

[P_E_T_E_R]

Betrachte mal nur die erforderliche Winkelauflösung und die daraus folgende Öffnung für die Optik, wobei wir auflösungsbegrenzende Effekte infolge von atmosphärischem Seeing außer Acht lassen. Gilt also für die Erkennbarkeit von Astronauten im ISS Außeneinsatz.

(1) Mit zunehmender Entfernung "z" schrumpft der Winkel "beta", unter dem ein Objekt von der Größe "Delta x" erscheint

beta = arctan (Delta x / z) ~ Delta x / z

wobei die Näherung im zweiten Schritt für große Entfernungen z >> Delta x gilt, wenn man den Winkel im Bogenmaß misst.

Wenn wir für einen Menschen eine charakteristische Dimension von Delta x ~ 1 m annehmen und für die Entfernung z.B. den Abstand des Mondes nehmen mit z ~ 380 000 000 m, so ergibt sich für den Winkel

beta ~ 1 m / 380 000 000 m ~ 2.63 x 10^-9 radian ~ 0.000543" (Bogensekunden)

Das wäre also ein sehr kleiner Winkel!

(2) Die Winkelauflösung "alpha" eines Teleskops wird durch die Wellennatur des Lichts begrenzt. Nach dem Rayleigh Kriterium berechnet sich dieses aus dem Öffnungsdurchmesser der Optik "D" und der Wellenlänge "lambda" zu

alpha = arcsin (1.22 lambda / D) ~ 1.22 lambda / D

wobei die Näherung im zweiten Schritt für große Öffnungen D >> lambda gilt, wenn alpha im Bogenmaß gemessen wird.

Um ein Objekt von der Größe eines Menschen aus der Entfernung des Mondes erkennen zu können, brauchen wir also eine Optik mit einer entsprechenden Winkelauflösung

alpha ~ beta ~ 2.63 x 10^-9

Wenn das Teleskop im sichtbaren Licht mit lambda ~ 500 nm arbeitet, beträgt die erforderliche Öffnung der Optik

D = 1.22 lambda / alpha ~ 1.22 * (500 x 10^-9 m) / (2.63 x 10^-9) ~ 232 m

Ein Teleskop mit einer Öffnung von 232 Metern!

Nun stell Dir mal vor, Deine Außerirdischen hätten ein Teleskop in einer Entfernung von 1 Lj ~ 9.46 x 10^15 m. Die erforderliche Öffnung wäre dann

D ~ (9.46 x 10^15 m /380 000 000 m) 232 m ~ 5.78 x 10^9 m ~ 5.78 Millionen km

Eine Optik mit einer Öffnung von nahezu 6 Millionen Kilometern: das entspräche etwa dem 8-fachen Durchmesser der Mondbahn!

Typische Sternentfernungen sind aber tatsächlich noch weitaus größer als 1 Lj.

Ähnlich absurde Anforderungen bekommt man, wenn man die Signalstärke, also die Zahl der detektierten Photonen pro Flächen- und Zeiteinheit betrachtet, aber das kannst Du Dir selber mal klarmachen.

Mit freundlichen Grüßen,
Peter

 

[guitarstar]

Danke Micha.
Hast natürlich Recht. Die Formel mit dem Winkel (2. Link) stammt aus der Optik und ist eine Näherung.
Mir ist nur nicht klar, ob es die tatsächlich theoretisch ableitbare Grenze der Auflösung beschreibt. Setzt man voraus, dass das Objekt auf der Erde diffus reflektiert, so beinhaltet auch ein kleiner Ausschnitt (kleiner Winkelbereich) noch seine vollständige Information. Es müsste dann vielleicht eine "quantenmechanische" Grenze geben. Wenn ich das (natürlich stationäre Objekt) lange genug beobachte, müssten von jedem noch so kleine Bereich Photonen in das Teleskop gelangen. Vielleicht bin ich auf dem Holzweg - gehe lieber schlafen.
Gerd

 

[guitarstar]

Hallo Peter,
deine Rechnung ist beeindruckend. Wird wohl nichts mit meinem Superteleskop. Aber ganz aufgegeben habe ich doch noch nicht - Aliens sind ja viel klüger und finden viellicht doch noch einen Trick
Gerd

 

[Ehemaliges Mitglieder [6370]]

Hallo,

wie sieht eigentlich ein Okular für so ein Teleskop mit einer Öffnung von knapp 6 Mio. km aus? Bei einem Öffnungsverhältnis von 1:2 komme ich auf eine Brennweite von ~12 Mio. km.
Wenn ich da dann mein schönes 30mm Weitwinkel reinstecke. Wow!

Aber erst reiche man mir das Übersichts-Okular, das mit den 500 000 km Brennweite. Das hat seitlich eine Öffnung. Damit der Mond da durch kann, wenn man zufällig in diese Richtung gucken will.

Grüße

*entfernt*

 

[Marfir]

Vielleicht können ja die Alliens eine Gravitationslinse ausnutzen. Dann könnte doch der Durchmesser der Öffnung kleiner sein?

 

[P_E_T_E_R]

wie sieht eigentlich ein Okular für so ein Teleskop mit einer Öffnung von knapp 6 Mio. km aus? Bei einem Öffnungsverhältnis von 1:2 komme ich auf eine Brennweite von ~12 Mio. km.
Wenn ich da dann mein schönes 30mm Weitwinkel reinstecke. Wow!

Aber erst reiche man mir das Übersichts-Okular, das mit den 500 000 km Brennweite

Das mit dem Übersicht-Okular ist auch nicht unproblematisch:

Bei f/2 für's Objektiv hätte man dann eine AP von 250 000 km.

Ob Aliens so große Glubscher haben?

Aber wieso f/2, ihr wollt doch auf hohe Auflösung und Vergrößerung hinaus!

Die maximal sinnvolle Vergrößerung für eine Öffnung von 6 Mio. km wäre etwa 10^13-fach (10 000 Milliarden oder 10 Billionen).

Mit einem entspannten Öffnungsverhältnis von f/1000 und einer Systembrennweite von 6 Mrd. km braucht man dafür dann
eine Okularbrennweite von 600 mm, und die AP dafür ist dann 0.6 mm.

Und die minimal sinnvolle Vergrößerung (für menschliche Augen mit AP ~ 6 mm) wäre 10^12-fach.
Aliens kommen natürlich weiter unter ...

 

[TiloS]

Aliens sind ja viel klüger und finden viellicht doch noch einen Trick

Aber sicher doch.
Die werden bestimmt keine kilometerbreite Linse bauen, sondern man kann doch das Teleskop aufteilen so wie man es heute schon macht, die Teleskope werden einfach zusammen geschaltet.

Theoretisch könnte man ein paar Millionen kleine Satelliten im All mit dem benötigten Abstand stationieren und jeden seinen Bildpunkt aufnehmen lassen und dann zusammenschalten. Alles nur eine Frage der Kosten, Technik und Software.

So bekommt man auch die nötige Winkelauflösung. Einen 8-fachen Durchmesser der Mondbahn bekommt man dabei locker hin.
Im Endeffekt heißt das "Big Brother is watching you". Die ziehn sich die Erde als Reality im Frühstücksfernsehen rein

Gruß
Tilo

 

[P_E_T_E_R]

Die werden bestimmt keine kilometerbreite Linse bauen, sondern man kann doch das Teleskop aufteilen
so wie man es heute schon in der Radioastronomie macht, die Teleskope werden einfach zusammen geschaltet.

OK, sehr gut, damit könnten sie die erforderliche Auflösung mit vertretbarem Aufwand erreichen.

Aber wie steht es mit der Signalstärke?

Mit anderen Worten: wie viele von den Photonen des Sonnenlichts, welche ein Mensch reflektiert,
kommen in diesen aufgeteilten "Subaperturen" in Entfernungen von Lichtjahren noch an?

Und wie ist das "Kontrastverhältnis" eines solchen mickrigen Signals gegenüber dem dominierenden
Untergrund von Sonne, Planeten, Monden?

Unbequeme Fragen ...

 

[TiloS]

Das sind dann dieselben Probleme, die wir heute auch bei der Planetenentdeckung haben und bei denen in den letzten Jahren große Fortschritte gemacht wurden. Man sieht ja heute auch schon optisch Planeten neben ihrem Stern. Das hätte man vorher auch nicht für möglich gehalten.

Ob das dann irgendwann für ein brauchbares Bild in der Größenordnung ausreicht bzw. wie umfangreich dieses zusammen geschaltete Teleskop (Anzahl und Größe der Einzeldetektoren) sein muss, weiß ich natürlich auch nicht. Ich könnte mir aber vorstellen, dass es bei einer genügend großen Anzahl von Einzeldetektoren theoretisch möglich ist.

 

[guitarstar]

Optische Auflösung oder nicht. Die Frage ist, wieviel theoretische Informationen z.B. in 4 Lichtjahren Entfernung und in sagen wir 10km x 10 km Fläche noch vorhanden sind (ggf. auch noch über eine bestimmte Zeit gemittelt). Also, die Photonen, (von einem Menschen reflektiert, der ganz still sitzt) treffen nach und nach auf die Empfangsfläche und werden irgendwie ausgewertet. Gibt die optische Auflösung wirklich die Grenze der theoretisch erreichbaren Auflösung an? Ich weiß zwar nicht genau, wie die Formel für die Auflösung abgeleitet wurde (habe mich damit nicht beschäftigt), intuitiv denke ich aber, dass das Problem eher quantenmechanischer Natur ist. Vielleicht liege ich auch ganz falsch und die Formel für die optische Auflösung lässt gerade mit Hilfe der Quantenmechanik ableiten? Irgendwie denke ich aber, dass die Anzahl der Photonen mit der Beobachtungszeit steigt und damit die verfügbare Information.
Eure Meinung interessiert mich wirklich sehr.
Grüß
Gerd

 

[P_E_T_E_R]

Gut, dann schätzen wir doch mal ab, was von dem rückgestreuten Sonnenlicht in großer Entfernung noch ankommt.
Dabei werde ich einige vereinfachende Annahmen machen, die aber in eine optimistische Richtung gehen:

(1) Einstrahlung des Sonnenlichts mit 1367 Joule / (m² s) entsprechend der Solarkonstante im Erdorbit.

(2) Maximale diffuse Rückstreuung des Sonnenlichts mit 100% Albedo vom Raumanzug des "observierten" Astronauten

(3) Sichtbare Querschnittsfläche des Raumanzuges von 1 m²


Mit diesen Annahmen haben wir alles wesentliche, um das rückgestreute Lichtsignal in beliebiger Entfernung zu bestimmen.

Zunächst ist es praktisch, die Sonnenstrahlung von Energie (in Joule) in eine Anzahl von sichtbaren Photonen umzurechnen:

1367 Joule / (m² s) = [1367 Joule /m² s)] / [1.6 x 10^-19 Joule / eV ] = 8.53 x 10^21 eV / (m² s) ~ 4 x 10^21 Photonen / (m² s)

wobei wir im letzten Schritt für die Energie eines Photons bei visuellen Wellenlängen einen Wert von etwa 2 eV (Elektronenvolt) eingesetzt haben.

Also 4 x 10^21 Photonen treffen in jeder Sekunde auf eine Fläche von 1 m² und werden entsprechend unserer Annahme verlustfreie, aber diffus zurückgestreut.


Für die Winkelverteilung nehmen wir eine isotrope Verteilung in alle Richtungen der Hemisphäre über der abstrahlenden Fläche an. Das entspricht in etwa der Situation beim Mondlicht, wo man bekanntlich auch keine Verdunkelung zum Terminator beobachtet.

Mit zunehmender Entfernung verteilen sich die Photonen dann über eine immer größer werdende Fläche. Diese Fläche entspricht der Oberfläche O_h einer Halbkugel vom Radius R:

O_h = 2 pi R²

Für R = 1 Lj ~ 9.5 x 10^15 m ist O_h ~ 5.7 x 10^32 m²

Von den auslaufenden 4 x 10^21 Photonen pro Sekunde kommen dann

(4 x 10^21/s) / 5.7 x 10^32 m² ~ 7 x 10^-12/(m² s)

also 7 x 10-12 Photonen pro Quadratmeter Detektorfläche und Sekunde bei den Aliens im Abstand von 1 Lj an.


Für einen Signalstrom von 1 Photon pro Sekunde brauchen die dann eine Detektorfläche von

1 / (7 x 10^-12/m²) ~ 1.4 x 10^11 m²

Das entspricht einem Quadrat mit einer Seitenlänge von 378 km, oder 10^6 (eine Million) Detektoren mit einer Größe von 378 m x 378 m, oder 10^12 (eine Billion) Detektoren im Format 38 cm x 38 cm.

Heck, wenn die da draußen gut organisierte Amateure haben, werden die bald die Außeneinsätze an der ISS beobachten können ...  

Mit freundlichen Grüßen,
Peter

 

[P_E_T_E_R]

Hallo Gerd,

die Auflösungsbegrenzung einer Optik folgt aus der Welleneigenschaft des Lichts. Das sind rein klassische Überlegungen, die z.B. aus der Betrachtung der Beugung von Licht am Spalt bereits folgen. Das sollte man nicht mit der Wellenmechanik nach Schrödinger verwechseln, obwohl es durchaus Ähnlichkeiten gibt.

Die alternative Beschreibung von Licht als Photonen, also Lichtquanten, ist zwar quantenmechanischen Ursprungs. Diese Eigenschaft wird hier aber nur in einem trivialen Sinn verwendet, nämlich bei der Umrechnung von Strahlungsenergie (in Joule) in eine bestimmte Zahl von Photonen. Da man als minimales Detektorsignal mindestens ein einzelnes Photon nachweisen muss, kommt hier die Quantelung des Lichts direkt zur Geltung. Das ist aber auch der einzige "Quanten" Effekt, der hier eine Rolle spielt.

Mit freundlichen Grüßen,
Peter

 

[TiloS]

Hi Peter,

danke für die Berechnungen.
Doch so viele, wow.

Wie gesagt, theoretisch möglich. Praktisch natürlich eine gewaltige Aufgabe, auch für Aliens. Obwohl, mit sich selbst verwaltenden und replizierenden Roboterfabriken, die am laufenden Band Detektoren ausspucken, die sich dann eigenständig ausrichten, gesteuert von einem Masterprogramm - warum nicht.

Gruß
Tilo

 

[P_E_T_E_R]

Die Frage ist, wieviel theoretische Informationen z.B. in 4 Lichtjahren Entfernung und in sagen wir 10km x 10 km Fläche noch vorhanden sind (ggf. auch noch über eine bestimmte Zeit gemittelt). Also, die Photonen, (von einem Menschen reflektiert, der ganz still sitzt) treffen nach und nach auf die Empfangsfläche und werden irgendwie ausgewertet.

In meiner Abschätzung war ich von einer Entfernung von 1 Lj ausgegangen.

Über eine Distanz von 4 Lj verdünnt sich dann die Photonendichte nochmal um einen Faktor 1/16,
denn die Oberfläche des Halbraums, über den sich die Photonen verteilen, wächst mit dem Quadrat der Entfernung.

Damit skaliert sich die Flussdichte in 4 Lj auf

Flussdichte (4 Lj) = [7 x 10^-12/(m² s)] / 16 ~ 4 x 10^-13/(m² s)

und ein Detektor mit einer Fläche von 10 km x 10 km = 10^8 m² sammelt dann einen Photonenfluss von

Fluss (4 Lj) = 4 x 10^-5 / s

Die mittlere Wartezeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Photonen "Treffern" ist

Delta T = 1 / (4 x 10^-5/s) = 25 000 s ~ 7 Std.

... von einem Menschen reflektiert, der ganz still sitzt ...

Du sagst es ...

Mit einem Detektor von 10 km x 10 km im Abstand von 4 Lj würden Deine Aliens von einem Astronauten im ISS
Außeneinsatz also typischerweise nur ein einzelnes Photon detektieren können.

Das reicht natürlich nicht für einen abendfüllenden Film in HD ...

Mit freundlichen Grüßen,
Peter

 

[guitarstar]

Hi Peter,

finde ich echt klasse, Deine Berechnung - wenn auch etwas enttäuschend. Meine Intuition lag somit ziemlich daneben. Ich hatte die Hoffnung, dass die Alien in unsere Vergangenheit sehen könnten und uns z.B. mitteilen könnten, was beim Transrapid-Unfall 2006 tatsächlich geschah.
Danke
Gerd