Hallo Pat,
b – a = a ist richtig, wenn die Barlow 2x vergrößern soll. Die Barlow liegt dann aber nicht im Brennpunkt des Objektivs, sondern zwischen Objektiv und ursprünglichem Brennpunkt. Es entsteht ein neuer Brennpunkt, der weiter vom Objektiv entfernt liegt, der neue Abstand ist b. Das ist bei 2-facher Brennweitenverlängerung durch die Barlow der doppelte Abstand wie der Abstand der Barlow zum bisherigen Brennpunkt, in dem das Bild jedoch nicht mehr aufgefangen werden kann (da die Barlowlinse dieses vom Objektiv auf den größeren Abstand verlagert). Das Verhältnis der jeweiligen Lage der Abstände (mit : ohne) bestimmt die Änderung des Öffnungswinkels.
Der Öffnungswinkel halbiert sich im Spezialfall b – a = a, da sich die Strahlen auch im neuen, entfernteren Brennpunkt schneiden müssen, der doppelt so weit entfernt ist.
Verschiebt man die Barlow in Richtung Objektiv, so nähert sich der ursprüngliche Brennpunkt des Objektivs dem (virtuellen) Brennpunkt der Barlow. Die Vergrößerung wird dadurch gesteigert, da sich der Schnittpunkt der Strahlen nach der Linsengleichung (auf eine Zerstreuungslinse angewendet) weiter vom Objektiv entfernt. Wird er erreicht, so wird die Vergrößerung unendlich und das Bild kann nur noch im Unendlichen aufgefangen oder betrachtet werden.
Die Brennweite der Barlow hat auf die Vergrößerung nur einen indirekten Einfluss, da nur das Verhältnis der verschiedenen Abstände von Bedeutung ist.
Bewegt man die Barlow vom Objektiv weg, so wird der Lichtkegel auf der Linse kleiner. In der Linsengleichung (Zersteuungslinse) wird der Betrag der Bildweite kleiner, sodass die Gegenstandsweite (die sich hier auf die neue Brennebene bezieht) sich der ursprünglichen Lage der Brennebene annähert. Das heißt, dass b sich a annähert. Nach M = b/a geht M gegen 1, d.h., die Barlow ändert die Brennweite des Objektivs kaum noch.
Sieht man von den Vorzeichen ab, so ist der Faktor der Barlow auch M = 1 / (1 – a/F)
Die Linsengleichung ist für Sammellinsen 1/f = 1/b + 1/g. Für Zerstreuungslinsen, wie die Barlow eine ist, treten negative Vorzeichen auf; sie erzeugt auch keine reellen Bilder, sondern nur virtuelle.
Das reelle Bild des Objektivs oder Spiegels kann man als virtuelles Bild der Zerstreuungslinse betrachten. Der dazu gehörige Gegenstand ist das reelle Bild des Gesamtsystems, das z.B. mit einem Okular betrachtet werden kann.
Für F = -70 mm und eine Gegenstandsweite von 85 mm erhält man eine Bildweite von
1/F = 1/b + 1/g <=> 1/g = 1/F – 1/b = 1/(-70 mm) – 1/(85mm) = -0,02605 1/mm = 1/(-38,4 mm) => 38,4 mm.
Das negative Vorzeichen bedeutet das virtuelle Bild. Vernachlässigt man das Vorzeichen, so erhält man mit M = b/a = 85/38,4 = ca. 2,21.
Oder M = 1/(1 – 38,4/70) = 2,21.
Die Bildweite der Linsengleichung ist der Abstand der Barlow zum ursprünglichen Brennpunkt.
Man kann die Gleichung auch nach der Gegenstandsweite bzw. nach dem neuen Abstand auflösen.
Die Linsengleichung betrachtet die Linsen als unendlich dünn, man kann aber die Hauptebenen betrachten, was genauere Ergebnisse liefert.
Viele Grüße,
Andreas