Hilfe: Fokustoleranz - wie berechnen?

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Lotz

Lotz

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Hallo Sternfreunde,

derzeit rechne ich etwas an der Abbildungsgeometrie von Teleskopen rum.
Dabei tut sich mir folgendes Problem auf, zu dem ich bis dato keine plausible Lösung
gefunden habe:

Der Durchmesser des Beugungsscheibchen ist ja 1,22*Lambda/D in radians, bzw.

Brennweite * tan(1,22*Lambda/D) in Längeneinheiten der Brennweite.
Geh ich aus dem Fokus, wird der Lichtkegel ja größer per Strahlensatz

Strahldurchmesser = Durchmesser Optik * Abweichung vom Fokus / Brennweite

Wenn ich beide Werte gleichsetze, müßte ich sagen können, ab welcher Fokusabweichung ich weniger als beugungsbegrenzt sehe. Allerdings liege
ich mit diesen Berechnungen ungefähr eine Zehnerpotenz neben den in der
Literatur für die Fokustoleranz zu findenden Werten.
Wahrscheinlich liegt der Denkfehler darin, Beugungsscheibchendurchmesser und
Strahlkegeldurchmesser zu vergleichen. Nur: wie rechne ich korrekt???

Viele Grüße und danke für mögliche Erleuchtung

Markus


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Markus A. R. Langlotz
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Hallo,

ich habe das immer ein wenig anders gemacht. Meine Frage war: wie genau muss der Fokus für den "Empfänger" sein. Also z.B. CCD oder Auge.

Damit hat man ein Vergleichs-Scheibchen, also zum Beispiel 2,8 mal Pixelweite (Nyquist der Diagonale). Oder Augenrezeptoren (Auflösung ca. 1 Bogenminute) mal Vergrösserung.

Jetzt sollte dann das Beugungsscheibchen kleiner sein als das des Rezeptors.

Für nichtbeugungsbegrenzte Objektive (Z.B. Fotoobjektive) macht man das natürlich mit derem Spotdurchmesser (typische 0,03 mm bei 35mm Objektiven bzw. 0,05 mm bei Mittelformat).

 
Hallo Lotz,

in Deiner Rechnung sind zwei Fehler drin.
1. Der Durchmesser des Airyscheibchens ist 2,44*Lambda/D (der Faktor 1,22 bezieht sich auf den Radius)
2. Der lineare Durchmesser des Scheibchens ist (2,44*Lambda/d)*f , also ohne den Tangens.
(Wenn Du Radian in Grad umrechnen willst, dann musst Du den Radian mit dem Faktor 180/pi multiplizieren.)

Viele Grüße,
thwalt
 
Hi,

sorry: Tipfehler; ich meinet den Radius und damit 2,44 als Faktor <img src="/phpapps/ubbthreads/images/icons/blush.gif" alt="" />

Allerdings ist der Tangens deswegen notwendig, um das Verhältnis
Gegenkathete zu Ankathete richtig wiederzugeben; allerdings fällt
der Tangens deswegen raus weil lim(x->0) tan x = x ist.
Also, mit radians nur dann rechnen, wenn's wirklich sehr kleine Winkel sind.
Bei 45° (Pi/4) sind ja GK und AK gleich tan(Pi/4) = 1 wogegen Pi/4 selbst
ja 0,78 ist, da kann man den Tangens schon nimmer weglassen.

Trotzalledem liege ich eben um den beschriebenen Faktor daneben

Viele Grüße

Markus



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Hi,

ok, Du rechnest um, aber, wenn Dein Airyscheibchen was weiß ich 3µm
Durchmesser hat bei einer f/10 optik, und Dein Empfänger 6µm Pixel,
wie viele Mykrometer darf man dann intra- oder extrafokal defokussieren?
Wie rechnest Du da?

Oder andersrum: Brennweite = 1000mm; Airydisk im Fokus d=5µm. Wie groß
erscheint das defokussierte Airyscheibchen bei 999 oder 1001 mm ?????

DAS ist die mich interessierende Frage. Wie rechnest Du da um?


Viele Grüße

Markus



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Hallo Markus !

Villeicht hilft dir das weiter.

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Oder andersrum: Brennweite = 1000mm; Airydisk im Fokus d=5µm. Wie groß
erscheint das defokussierte Airyscheibchen bei 999 oder 1001 mm ?????

DAS ist die mich interessierende Frage. Wie rechnest Du da um?
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Ich rechne mir zuerst den gemetrischen Durchmesser des defokusierten Punktes aus und zähle dann das Airyscheibchen dazu.
ZB. Bei einem Objektiv 100 / 1000 L 550 nm ist das Airyscheibchen 0,0134 mm groß

<pre><font class="small">code:</font><hr>
Den Dm von " P " bekommst du.

P = Dm Ob * def / f


Dm Ob ist der Durchmesser vom Objektiv
def ist der defokusierte Weg
f ist die Brennweite
P ist der Durchmesser vom defokusierten Punkt


Bei 0.25 mm Defokusierung ist der Punkt 0,025 mm groß
+ 0,0134 mm
------------------------------
sind zusammen 0,0384 mm

</pre><hr>

Bei 10 mm Defokusierung ist das Airyscheibchen um 1 % kleiner, aber das fällt da nicht mehr so ins Gewicht

Gut Fokus
Alois

 
Ciao,

ich vermute stark Deine Voraussetzung stimmt nicht.

Es ist NICHT so, dass die Beugungsfigur fokus-ein- und fokusaus-wärts gleich 'geformt' bleibt und nur mit dem 'Strahlensatz' grösser wird. Sonst könnten wir uns ja durch simples Defokussieren das Beugungsscheibchen 'vergrössern' und schön im Detail angucken,...!?. Die Beugungsfigur entsteht durch Wellenphänomene, d.h. Interferenz der Wellen, die in das Teleskop eintreten. Die genaue Form und Intensitätsverteilung in der Beugungsfigur ausserhalb des Fokus ist nur mit einem Wellenmechanik-Code exakt zu berechnen. Das ist im Detail sehr kompliziert (ausser Du weisst aus dem Stegreif sofort was exp(-i*k_vector*x_vector) bedeutet...?). Die Grösse der Figur steigt wahrscheinlich erstmal nicht-linear mit dem Abstand vom exakten Fokus. Das könnte die fehlende Grössenordnung in Deiner Rechnung erklären.

Du kannst einige Details dazu in 'Star Testing Astronomical Telescopes' (Harold Richard Suiter) finden. (Ausserdem natürlich für Hardcore-Ansprüche in Born's 'Optik' Buch für Physiker - heftig !) In ersterem findet man glaube ich auch Darstellungen Beugungsfiguren ausserhalb des Fokus. Ausserdem solltest Du Dir das Aberrator Programm dazu besorgen (ich glaube da kann man off-focus Bilder erzeugen...?).
http://aberrator.astronomy.net/

Schöne Grüsse,
Peter
 
Zuletzt von einem Moderator bearbeitet:
Hi,

Stehgreif: die komplexe e-funktion is ja nach Euler nix anders als
exp(y+jx) = exp(y) * [sinx+jcosx] also eine gedämpfte Schwingung.
Wird das Argument der Schwingung ortsabhängig, dann hast Du eine
sich ausbreitende, gedämpfte Welle.
Off-focus schaut man aber beim Sterntest Die beugungsfigur "vergrößert"
an und diese nimmt auch ziemlich linear mit der defokussierung im
sichtbaren Durchmesser zu.

Die Fragen bleiben, leider...


Markus


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Hallo Lotz,
es gibt da mehrere Verfahren, das defokussierte Beugungsbild zu berechnen. Klassisch ergibt sich die Lösung aus einer 'Faltung' (='Konvolution') der gebeugten Amplitude (=Besselfkt J1(r)/r) mit dem ungestörten defokussierten Scheibchen. Daraus das Betragsquadrat ergibt dann die gesuchte Intensitätsverteilung. Die Faltung kann über Integration (mathematisch eklig, ich habs auf die Schnelle nicht hingekriegt) oder über eine 2dim. Fouriertransformation passieren. Beide Methoden sind mit Arbeit (igitt) verbunden.
Es gibt da noch die Methode der Pfadintgrale, die mit wenig Aufwand ziemlich brauchbare Ergebnisse liefert. Der Trick geht so:
Du denkst dir eine Einfallsebene senkrecht zur optischen Achse aus, z.B die vom Hauptspiegelrand aufgespannte Fläche (ich rechne hier mal mit einem Newton, weil das so schön anschaulich ist. Das Ganze gilt prinzipiell auch für andere Typen, also auch Refraktoren). Die genaue Lage der Fläche ist egal, da eine konstante Verschiebung später bei der Rechnung herausfällt. Dann bestimmst du die Länge des Lichtstrahls von einem Punkt (x,y) auf dieser Fläche zu einem Punkt (u,v) der Bildebene, die auch ausserhalb des Fokus sein kann. Die Amplitude im Bildpunkt (u,v) ergibt sich durch Summation der (komplexen) Amplituden der Lichtstrahlen (wie schon erwähnt exp(-ik*l)=cos(k*l)+i*sin(k*l) ) von allen Punkten der Einfallsfläche. Das Betragsquadrat (nach der Summation!) ist dann die gesuchte Intensität der Beugungsfigur in diesem Punkt. Hört sich vielleicht kompliziert an, ist aber ganz einfach:
Der Spiegel (Brennweite F, Durchmesser D) hat die Form

h = (x^2+y^2)/(4*F) = r^2/(4*F)
h0 am Rand ist somit (D/2)^2/(4*F). Für F=1m, D=8" ist h0=2.5mm

Ein Lichtstrahl geht nun von der Einfallsebene E zum Hauptspiegel HS und von dort zum betrachteten Bildpunkt B, der an der Stelle (u,v,F-Ofs) liegen soll (dass hier teilweise das Reflektionsgesetz verletzt wird, ignorieren wir mal - ist halt doch irgendwie Wellenoptik <img src="/phpapps/ubbthreads/images/icons/smile.gif" alt="" /> )
Also:
Abstand E-HS = (h0-h)
Abstand HS-B = Sz = (F-Ofs-h) in z-Richtung,
Sx = (x-u) in x-Richtung,
Sy = (y-v) in y-Richtung
Die Gesamtlänge ergibt sich somit nach 3d-Phytagoras zu

Lges = (h0-h)+sqr(Sx^2+Sy^2+Sz^2).

Eigentlich interessieren uns nur Wegdiffenzen, deshalb ziehen wir die Länge des Strahls auf der optischen Achse davon ab (x=y=u=v=0)

LoptA = F-Ofs+h0, damit wird Lges-LoptA =

L(x,y,u,v) = sqr(Sx^2+Sy^2+Sz^2)-(F-Ofs+h).

Die Wellenamplituden (Real+Imaginärteil) für die Wellenlänge Lambda sind dann einfach

A_re(x,y,u,v) = cos(L*2*Pi/Lambda) = cos(k*L) mit k=2*Pi/Lambda
A_im(x,y,u,v) = sin(L*2*Pi/Lambda) = sin(k*L)

Jetzt müssen nur noch die Beiträge aller Punkte (x,y) aufsummiert werden. Meist genügt hierfür ein genügend feines Raster auf der Einfallsebene, hier z.B. mit 1mm Auflösung. Anschließend wird noch aus den Amplituden die Intensität im Punkt (u,v) der Bildebene berechnet:

I(u,v) = (Re^2+Im^2) mit Re=Summe(A_re); Im=Summe(A_Im)

Das Ganze habe ich mal in ein kleines Basic-Progrämmchen verpackt, das die radiale Intensitätsverteilung
in der Bildebene in eine Datei schreibt (z.B. zum Anschauen in MS-Excel o.ä.). Da bei den betrachteten Bedingungen das Beugungsbild rotationssymmetrisch ist, kann man sich auf Punkte auf der positiven u-Achse (v=0) beschränken. Ausserdem wird die Summe über x und y über einen quadratischen Bereich der Eingangsfläche durchgeführt (einfach zu programmieren), so dass Punkte ausserhalb des runden Hauptspiegels durch die If ... Bedingung aus der Summation herausgenommen werden müssen (hier könnte auch zusätzlich der Fangspiegel berücksichtigt werden, oder gar die Spinne, ein Fussel, Kratzer,... - dann wird die Beugungsfigur aber nicht mehr rot.-symmetrisch und die Berechnung muss über u und v laufen, d.h statt 'v=0' einfach 'For v=0 to ..'). Weiterhin könnten statt idealem Spiegel auch Zonenfehler o.ä. berücksichtigt werden, also h=r2/F/4 + Err(x,y).
Alle Maße (Brennweite F, Eintrittöffnung D, Offset zum Fokus Ofs, Wellenlänge Lambda) werden in mm angegeben. Für Ofs=0 ergibt sich natürlich das bekannte Airy-Beugungsmuster.
Die ausgegebenen Werte müssten eigentlich noch mit der Fläche der Rasterpunkte normiert werden. Da es für Intensitätsvergleiche aber keine Rolle spielt, hab ichs weggelasen, um das Programm einfach zu halten.

Gruß
Karl-Heinz


DefDbl A-Z
F = 1000: D = 200: Ofs = 0.08: Lambda = 0.0005 ' alles in [mm]
Pi = 4 * Atn(1): k = 2 * Pi / Lambda
Open "Data.txt" For Output As #1 ' Ausgabefile
v = 0: For u = 0 To 0.01 Step 0.0001 ' Bildebene
Re = 0: Im = 0
For y = -D / 2 To D / 2 Step 1 ' Eintrittsebene
For x = -D / 2 To D / 2 Step 1
r2 = x * x + y * y ' Radius^2
If r2 <= D * D / 4 Then ' (x,y) innerhalb des Haupspiegels?
h = r2 / F / 4: Sx = x - u: Sy = y - v: Sz = F - Ofs - h
L = Sqr(Sx * Sx + Sy * Sy + Sz * Sz) - (F - Ofs + h)
Re = Re + Cos(k * L): Im = Im + Sin(k * L)
End If
Next
Next
Write #1, u, (Re * Re + Im * Im)
Next
Close #1
 
Hi,

erstmal vielen Dank.

Bin jetzt zwar 2 Wochen in Urlaub, werd aber danach mal kräftig rechnen;
Dein mathematischer Ansatz gefällt mir und bringt mich doch um einiges weiter.

Gruß

Markus


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