Koordinaten-Umrechnung für Stern im Zenit

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Leznik

Mitglied
Hallo liebes Forum,

kann mit jemand einen Ansatz / Link geben, wie man den Azimut und den Höhenwinkel eines Sternes für einen Standort A ausrechnen kann, wenn ich weiß, wo er genau in diesem Augenblick im Zenit steht (Standort Z)? Geben sind also Länge/Breite für Standorte A und Z (Der Zeitpunkt ist für beide Beobachter identisch). Gesucht ist Az, Alt für den Beobachter am Standort A, so das er den gleichen Stern anvisiert, der zur gleichen Zeit am Standort Z im Zenit steht.

Vielen Dank und viele Grüße
Heiko
 
Im allgemeinen Fall dürfte das ganz schön kompliziert werden.

Für den speziellen Fall, wo sich beide Beobachter auf dem selben Längenkreis befinden, hat der ARD Wettermann Sven Plöger heute in den Abendnachrichten eine sehr simple Lösung gezeigt:

Heute am 23. September ist ja Tag und Nachtgleiche, da steht die Sonne am Äquator zur Mittagszeit im Zenit. Und bei uns erreicht sie dann eine Höhe von 90° - phi, wobei phi unsere geografische Breite ist. Also z.B. für Frankfurt mit phi = 50° hat die Sonne dann eine maximale Höhe von 90° - 50° = 40°. Und der Azimutwinkel wäre natürlich trivialerweise 0° zur Südrichtung.
 
Zitat von Moderator Hans Zekl:
A befindet sich allerdings ... nicht notwendigerweise auf demselben Längengrad.
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Darum sprach ich ja auch von einem speziellen Fall.

Übrigens ist mir schleierhaft, was der Link auf die Wikipedia-Seite zur Lösung des allgemeinen Falles beitragen soll, denn hier geht es um etwas ganz anderes, nämlich die Transformation einer Richtung von einem ortsfesten Azimutalsystem auf der Erdkugel in ein anderes ortsfestes Azimutalsystem.

So etwas wird z.B. hier untersucht:

DETERMINATION OF LOOK ANGLES TO GEOSTATIONARY COMMUNICATION SATELLITES

wobei die angepeilten Objekte, nämlich geostationäre Satelliten, dort nicht in astronomischer Entfernung stehen.
 
Vielen Dank für die Antworten, ich beschäftige mich noch mit der Wiki-Seite (das Paper ist - glaube ich - zu kompliziert, da ich ja wirklich nur an Sternen - also weit - entfernten Objekten interessiert bin).

Ich denke ich habe es schon fast: Aus Länge und Breite von Z (und der UTC von "jetzt") sollte ich ja die Position des Sternes ohne allzu große Probleme richtig in Ra und Dec bestimmen können und dann sollte ich aus diesen Standardkoordinaten auch für den Standort A (und die gleiche UTC) Azimut und Höhenwinkel bestimmen können unter denen er zu finden ist, da das ja eine übliche Umrechnung sein sollte.
 
Der Umweg über die Transformation von Azimutal- in Äquatorial- und dann wieder zurück in Azimutalkoordinaten wäre aber extrem umständlich, zumal man sich dann auch noch mit dem Stundenwinkel und der Zeit befassen muss, die ja hier gar keine Rolle spielen.

Man kann die Richtung des Sterns in Azimutalkoordinaten unter Berücksichtigung der geografischen Ablage in Breite und Länge unter Anwendung des Formalismus für Drehmatrizen direkt transformieren.

Ein noch einfacherer Weg führt über die Betrachtung des Großkreises, der zwei Punkte A und B auf der Erdkugel verbindet:

Großkreis_AB.jpg


Daraus ergibt sich das Inkrement für den Zenitwinkel des Sterns und daraus folgt dann der Höhenwinkel zu h = 90° - zeta.

Und der Azimutwinkel ergibt sich aus dem sog. Kurswinkel

Schnittwinkel.jpg
 
Hallo Peter,

Zitat von P_E_T_E_R:
Der Umweg über die Transformation von Azimutal- in Äquatorial- und dann wieder zurück in Azimutalkoordinaten wäre aber extrem umständlich...
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Ja, aber das:

Zitat von P_E_T_E_R:
Man kann die Richtung des Sterns in Azimutalkoordinaten unter Berücksichtigung der geografischen Ablage in Breite und Länge unter Anwendung des Formalismus für Drehmatrizen direkt transformieren.
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War auch meine erste Idee. Nur die habe ich mich nicht getraut. Wenn ich das selbst herleite ist die Wahrscheinlichkeit, dass das "etwas anderes" ausrechnet ziemlich groß, oder ich muss sehr viel Zeit investieren...

Die Idee mit Großkreis und Kurswinkel ist genau das was ich gesucht habe. (Auf die Idee die Großkreisebene für die Höhenwinkelbestimmung zu verwenden wäre ich wohl nicht gekommen und den Kurswinkel kannte ich gar nicht). Vielen Dank dafür.
 
Wie fast immer, gibt es mehere Weg zum Ziel. Eine hat P_E_T_E_R vorgestellt und auch schon auf den formalen Weg hingewiesen. Man kommt also ganz formal über Rotationsmatrizen an die Lösung (man hat ja nicht immer die Formeln für Großkreis und Kurswinkel im Kopf). Die Rotationen kann man sich schon einfach erschließen:

Für Drehtmatrizen R(a) und R(b) gilt: R(a+b) = R(a)*R(b)
Außerdem ist die inverse Ratationsmatrix IR(a) = R(-a)

Mit Hilfe der Drehmatrizen kann man sich die Rotationen zusammen rechnen. Denn alle Operationen auf der Sphäre lassen sich mit Rotationsmatrizen beschreiben.
Die Transformation von Azimut und Höhe (A, H) nach RA und Deklination (ra, d) läst sich mit folgenden Drehmatrizen bescheiben:

R(ra, d) = R(t1) * R(phi1) * R(A1, H1) = R(t2) * R(phi2) * R(A2, H2)

wobei t1, t2 die lokalen Sternzeiten S sind, also S(UT1) - l1, S( UT1) - l2 (UT1 ist die um die Abweichung der Erdrotaionsungenauigkeit von UTC korregierte Zeit) und l1, l2 die geografischen Längen, phi die Breiten.

Daraus folgt: R(-t2)*R(t1) * R(phi1) * R(A1, H1) = R(l2-l1) * R(phi1) * R(A1, H1) = R(phi2) * R(A2, H2)

Und damit die gesuchten Azimut und Höhe: R(A2, H2) = R(-phi2) * R(l2-l1) * R(phi1) * R(A1, H1)

So geht's halt auch. Auch hier rechnet sich die Sternzeit heraus, bzw wird über die Differenz der geografischen Längen gegeben.
 
Zuletzt bearbeitet:
Zitat von P_E_T_E_R:
Ein noch einfacherer Weg führt über die Betrachtung des Großkreises, der zwei Punkte A und B auf der Erdkugel verbindet:
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Sorry für den kleinen Ausflug jetzt:

Ja, das erinnert mich an ein tolles Buch, so vom Anfang der 70er Jahre des vorigen Jahrtausendshunderts (;)) zur praktischen Astronomie, welches mich damals, in Verbindung mit meinem Quelle-Fernrohr, begeisterte. Da konnte man ein kleines Linsenfernrohr basteln, ein Astrolabium, einen Höhenmesser. Man konnte die Position von Mond und Planeten anhand von geschickt zusammengestellten Tabellen berechnen, und, und, und. Sphärische Dreiecke wurden (ohne Formeln, aber mit Tabellen?), glaube ich, auch besprochen. Leider erinnere ich mich nicht, wie das Buch hieß - vllt. findet man es sogar noch in einem Antiquariat. Es kam glaube ich aus dem Kosmos-Verlag.

Wie gesagt: Dieses sphärische oder auch nautische Dreieck, hilft einem bei allen möglichen Fragen zur Navigation und Winkelmessung am Himmel - so wie es damals auch die Seeleute machen mussten. Ähnlich wie bei einem ebenen Dreieck kann man mit Hilfe der Trigonometrie alle Größen in einem sphärischen Dreieck bestimmen. Im wesentlichen braucht man dabei nur die sphärischen Versionen des Kosinussatzes und des Sinussatzes. Auf die Weise kommt man dann zu Gleichungen wie in Peters Post.

Thomas
 
Hallo Thorsten,
ich könnt dich abbusseln! ?‍❤️‍?‍? ! (Ich hatte noch eine alte, schlichte Auflage). Für die heutige Zeit mit apps und Internet ist das Buch wohl nichts - aber damals hatte man sonst ja nüscht...

Thomas (Sorry für Abschweifung)
 
Hallo Heiko,

Zitat von Leznik:
kann mit jemand einen Ansatz / Link geben, wie man den Azimut und den Höhenwinkel eines Sternes für einen Standort A ausrechnen kann, wenn ich weiß, wo er genau in diesem Augenblick im Zenit steht (Standort Z)? Geben sind also Länge/Breite für Standorte A und Z (Der Zeitpunkt ist für beide Beobachter identisch). Gesucht ist Az, Alt für den Beobachter am Standort A, so das er den gleichen Stern anvisiert, der zur gleichen Zeit am Standort Z im Zenit steht.
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Ein Javascript könnte diesbezüglich in etwa so aussehen:

Code: 
/*
    Gegeben:
    lonA... Längengrad des Ortes A
    latA... Breitengrad des Ortes A
    lonZ... Längengrad des Ortes Z
    latZ... Breitengrad des Ortes Z
    
    Gestirn steht zum Zeitpunkt t im Ort Z im Zenit:
    hZ = 90°, Az = undefined, Stundenwinkel HZ = 0
    
    Gesucht: Höhe hA und Azimut AzA des Gestirns im Ort A
    
    Die Winkelfunktionen dsin(...), dcos(...) usw. nehmen
    als Argument einen Winkel in Dezimalgrad (müssen extern
    definiert werden).
*/

function getAzhLocA(lonA, latA, lonZ, latZ) {
    //
    var hA, dec, HA, sinhA, Az_z, Az_n, AzA;
    //
    // Wegen sin(hZ) = 1 und cos(hZ) = 0 folgt
    // sin(dec) = sin(latZ), und daher ist die
    // Deklination des Gestirns
    dec = latZ;
    //
    // Bei gleichem Zeitpunkt fällt die Sternzeit aus
    // der Berechnung heraus, der Stundenwinkel HZ im
    // Ort Z ist 0 und im Ort A daher
    HA = lonA - lonZ;
    
    // Berechnung der Höhe im Ort A
    sinhA = dsin(latA)*dsin(dec) + dcos(latA)*dcos(dec)*dcos(HA);
    hA = dasin(sinhA);
    //
    // Berechnung des Azimuts über die 2. Arctan-Funktion
    Az_z = dsin(HA); // Zähler
    Az_n = dcos(HA)*dsin(latA) - dtan(dec)*dcos(latA); //Nenner
    AzA = datan2(Az_z, Az_n);
    //
    return [hA, AzA];
}

cs,
harald

--
 
Hallo ,

@Harald und pem.bn vielen Dank für die Hife. Ich werde das noch ausprobieren, um meine Lösung (bzw. besser Peters Lösung - nur mit etwas anderer Kurswinkelbestimmung um den Quadrant zu berücksichtigen) überprüfen zu können.

@Thomas: ja, Bücher haben schon was ;-). Es war zwar kein Problem mit den passenden Stichworten eine gute Antwort zu finden, aber ein ordentliches Buch gibt einen eben den Gesamtüberblick der mir ja noch fehlt...
 
Zitat von Leznik:
@Harald und pem.bn vielen Dank für die Hife. Ich werde das noch ausprobieren, um meine Lösung (bzw. besser Peters Lösung - nur mit etwas anderer Kurswinkelbestimmung um den Quadrant zu berücksichtigen) überprüfen zu können.
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Hm, also ich bin aus Peters Lösung nicht so richtig schlau geworden. Ursprünglich wolltest du ja im Ort A die Sternposition in horizontalen Koordinaten berechnen, wenn zur selben Zeit derselbe Stern im Ort Z im Zenit steht.

Bei der Berechnung von zeta bzw. h = 90°-zeta bekomme ich den negativen Wert für h heraus. Auch das omega liefert bei mir eine Abweichung von ca. 1/3 Grad.

Beispiel:
Regulus: dec = +11°58'02" = 11.9672222° = phi_Z

(Nur an einem Ort mit dec = phi kann der Stern im Zenit stehen)

Ort Z: lambda_Z = -70° (West) und phi_Z = 11.967° (Südamerika)
Ort A: lambda_A = 10° phi_A = 50° (Mitteleuropa)

Ergebnis: Der Stern steht in A dann bei
h = 15.547°
Az = 90.187°

Guide sagt:
h = 15.5°
Az = 90.1°

Die Kurs-Formeln ergeben:
h = -15.547°
Az = 89.813°

Wenn man allerdings 180°-89.813° rechnet, erhält man das korrekte Ergebnis 90.187°. Es scheint so, dass bei den Kurs-Formeln der Azimut von Nord und in die entgegengesetzte Richtung gerechnet wird. Astronomisch sollte das eher die Südrichtung sein.
Süd Az=0, West Az=90, Nord Az=180, Ost Az=270.
Kann man aber halten wie man will. Den Grund für die negative Höhe hab ich allerdings noch nicht gefunden.

cs,
harald

--
 
Üblicherweise ist Norden bei Az = 0°, Osten bei 90° usw. - So arbeiten die Montierungen standardmäßig auch - ebenso die Astro-Programme, bei denen man den Nullpunkt nicht auswählen kann.
 
Hallo Harald, beim Vorzeichen des Höhenwinkels h = 90° - zeta hast du dich wohl einfach verrechnet, ich bekomme für das Beispiel denselben Wert, aber mit positivem Vorzeichen. Und die Formel für den Kurswinkel rechnet tatsächlich wie in der Navigation üblich von der Nordrichtung.

Übrigens, bei kleinen Entfernungen zwischen den Punkten A und B wird die Formel für zeta = arccos ( ) problematisch, jedenfalls wenn man nicht einen Rechner mit sehr vielen Dezimalen verwendet. Dann ist es besser mit alternativen Formulierungen zu rechnen. Siehe dazu die Bemerkung zu haversine formula unter

Great Circle Distance / Computational Formulas

Auch nützlich in dem Zusammenhang:

Azimuth / Calculating Azimuth

Gruß, Peter
 
Hallo Peter!

Du hast Recht, ich habe jetzt mal den guten alten Taschenrechner bemüht und korrekterweise +15,547° erhalten. Ist mir im Script ein Fehler unterlaufen.

Das mit dem Kleine-Winkel-Problem beim arccos ist mir bekannt und die haversine Funktion auch. Quadrat des Sinus mit halben Argument, quasi.

Dass in der Nautik der Azimut von Nord gerechnet wird, ist auch bekannt.

Wikipedia schreibt
[...] In modern astronomy azimuth is nearly always measured from the north. (The article on coordinate systems, for example, uses a convention measuring from the south.) In former times, it was common to refer to azimuth from the south, as it was then zero at the same time that the hour angle of a star was zero. [...]
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Bin daher wohl eher von alten Schlag :D

Wenngleich mir die Tatsache, dass dann der Stundenwinkel UND der Azimut zugleich bei 0 starten, sympathischer ist. Aber oben hab ich eh geschrieben
Zitat von h_c_greier:
Kann man aber halten wie man will.
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Danke fürs Drüberschauen.

cs,
harald

--
 
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